Dyjtyuk

數學上，HNN擴張（英语：HNN extension）是組合群論中的一個基本構造法。HNN擴張是三名數學家Graham Higman、Bernhard Neumann、Hanna Neumann在1949年的論文Embedding Theorems for Groups^[1]提出。給定一個群中兩個同構子群及其間的群同構，這個構造法將這個群嵌入到另一個群中，令到所給定的群同構在新的群中成為共軛。

構造法

若G為群，有展示G = 〈S|R〉，又若 α : H → K是G的兩個子群間的群同構。設t為不在S中的新符號，定義

G∗α=⟨S,t|R,tht−1=α(h),∀h∈H⟩.displaystyle G*_alpha =leftlangle S,tR,tht^-1=alpha (h),forall hin Hrightrangle .

群G∗_α稱為G相對於α的HNN擴張。原本的群G稱為G∗_α的基群，而子群H和K稱為相伴子群。新的生成元t稱為穩定字.

基本性質

由於群G∗_α包念了G的所有生成元和關係元，所以將G的生成元等同於G∗_α的生成元，便誘導出從G到G∗_α的一個自然的群同態。Higman、Neumann、Neumann證明了這個群同態是群同構，因而是G到G∗_α中的嵌入。從上可得出一個結論是一個群中兩個同構的子群，必定在某個母群中是共軛子群。這個構造法的原來目的是要證明這個結論。

Britton引理

HNN擴張的一個基礎性質是一條正規形的定理，稱為Britton引理。^[2]設G∗_α如上，w是在G∗_α中如下的一個乘積：

w=g0tε1g1tε2⋯gn−1tεngn,gi∈G,εi=±1.displaystyle w=g_0t^varepsilon _1g_1t^varepsilon _2cdots g_n-1t^varepsilon _ng_n,qquad g_iin G,varepsilon _i=pm 1.

Britton引理可表述為：

Britton引理 若在G∗_α中w = 1，則

• 
  n = 0，且在G中g₀ = 1


• 或是n > 0，且對某個i ∈ 1, ..., n−1有下列兩者之一

1. ε_i = 1, ε_i+1 = −1, g_i ∈ H,


2. ε_i = −1, ε_i+1 = 1, g_i ∈ K.

Britton引理用逆反命題可表述為：

Britton引理（另一形式）設w滿足以下其中一項

• 
  n = 0，且g₀ ≠ 1 ∈ G，


• 或n > 0，且w不包含如下的子字串：tht⁻¹，其中h ∈ H；及t⁻¹kt，其中k ∈ K，

則在G∗_α中w ≠ 1。

Britton引理的結果

HNN擴張的大多數基本性質，都可以從Britton引理得出。這些結果包括：

• 從G到G∗_α的自然群同態是內射，所以可以將G∗_α視作包含G為子群。


• 
  G∗_α中任何一個有限階元素，是共軛於G中的某個元素。


• 
  G∗_α中任一個有限子群都共軛於G中某個有限子群.


• 若H ≠ G及K ≠ G，則G∗_α有子群同構於秩2的自由群。

應用

HNN擴張是Higman證明Higman嵌入定理的主要工具。這定理說任何有限生成遞歸展示群可嵌入到一個有限展示群中。Novikov-Boone定理指存在一個有限展示群，有算法不可判定（英语：algorithmically undecidable）的字問題，這定理的現代證明大多數都倚賴於HNN擴張。

HNN擴張和帶共合的自由積兩者都是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。^[3]

推廣

HNN擴張是群的圖的基本群的初等例子。

參考