Dyjtyuk

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。

起源

群論中的指導思想之一，是研究群 Gdisplaystyle G 及其表示的關係。群 Gdisplaystyle G 的表示是 Gdisplaystyle G-模的特例：一個 Gdisplaystyle G-模是一個阿貝爾群 Mdisplaystyle M 配上 Gdisplaystyle G 在 Mdisplaystyle M 上的群作用 G→End(M)displaystyle Gto mathrm End (M)。等價的說法是：Mdisplaystyle M 是群環 Z[G]displaystyle mathbb Z [G] 上的模。通常將 Gdisplaystyle G 的作用寫成乘法 m↦gmdisplaystyle mmapsto gm。全體 Gdisplaystyle G-模自然地構成一個阿貝爾範疇。

對給定的 Gdisplaystyle G-模 Gdisplaystyle G，最重要的子群之一是其 Gdisplaystyle G-不變子群

MG=x∈M:∀g∈G gx=x.displaystyle M^G=lbrace xin M:forall gin G gx=xrbrace .

若 N⊂Mdisplaystyle Nsubset M 是一個 Gdisplaystyle G-子模（即：是 Mdisplaystyle M 的子群，且在 Gdisplaystyle G 的作用下不變），則 M/Ndisplaystyle M/N 上賦有自然的 Gdisplaystyle G-模結構，NG⊂MGdisplaystyle N^Gsubset M^G，但是未必有 (M/N)G=MG/NGdisplaystyle (M/N)^G=M^G/N^G。第一個群上同調群 H1(G,N)displaystyle H^1(G,N) 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 Hn(G,−)displaystyle H^n(G,-)，其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構

以下假設 Gdisplaystyle G 為有限群，全體 Gdisplaystyle G-模構成阿貝爾範疇，其間的態射 HomG(M,N)displaystyle mathrm Hom _G(M,N) 定義為滿足 f(gx)=gf(x)displaystyle f(gx)=gf(x) 的群同態 f:M→Ndisplaystyle f:Mto N。由於此範疇等價於 Z[G]displaystyle mathbb Z [G]-模範疇，故有充足的內射對象。

函子 M→MGdisplaystyle Mto M^G 是從 Gdisplaystyle G-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 Hn(G,M)displaystyle H^n(G,M) 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知：

• H0(G,M)=MGdisplaystyle H^0(G,M)=M^G


• 長正合序列：若 0→M′→M→M″→0displaystyle 0to M'to Mto M''to 0 為 Gdisplaystyle G-模的短正合序列，則導出相應的長正合序列

⋯→Hi−1(G,M″)→Hi(G,M′)→Hi(G,M)→Hi(G,M″)→Hi+1(M′)→Hi+1(M)→⋯displaystyle cdots to H^i-1(G,M'')to H^i(G,M')to H^i(G,M)to H^i(G,M'')to H^i+1(M')to H^i+1(M)to cdots

在上述定義中，若固定一個域 kdisplaystyle k，並以 k[G]displaystyle k[G] 代替 Z[G]displaystyle mathbb Z [G]，得到的上同調群依然同構。

標準分解

導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 MG=HomG(Z,M)displaystyle M^G=mathrm Hom _G(mathbb Z ,M)，其中 Zdisplaystyle mathbb Z 被賦予平凡的 Gdisplaystyle G 作用：gx=xdisplaystyle gx=x，故群上同調可以用Ext函子表達為

Hi(G,M)=Exti(Z,M)displaystyle H^i(G,M)=mathrm Ext ^i(mathbb Z ,M)

另一方面，Gdisplaystyle G-模範疇中也有充足的射影對象，若取一 Zdisplaystyle mathbb Z 的射影分解 0←Z←P∙displaystyle 0leftarrow mathbb Z leftarrow P_bullet ，則有自然的同構 Exti(Z,M)≃Hi(Hom(P∙,M))displaystyle mathrm Ext ^i(mathbb Z ,M)simeq H^i(mathrm Hom (P_bullet ,M))。最自然的分解是標準分解

Li:=∑(g0,…,gi)∈GZ(g0,…,gi)displaystyle L_i:=sum _(g_0,ldots ,g_i)in Gmathbb Z (g_0,ldots ,g_i)

g(g0,…,gi)=(gg0,…,ggi)displaystyle g(g_0,ldots ,g_i)=(gg_0,ldots ,gg_i)

d(g0,…,gi)=∑j=0i(g0,…,g^j,…,gi)displaystyle d(g_0,ldots ,g_i)=sum _j=0^i(g_0,ldots ,hat g_j,ldots ,g_i)

而 L0→Zdisplaystyle L_0to mathbb Z 由 g0↦1displaystyle g_0mapsto 1 給出。

定義 Ki:=HomG(Li,M)displaystyle K^i:=mathrm Hom _G(L_i,M)，其元素為形如 f:Gi+1↦Mdisplaystyle f:G^i+1mapsto M 的函數，並滿足 f(gg0,…,ggi)=gf(g0,…,gi)displaystyle f(gg_0,ldots ,gg_i)=gf(g_0,ldots ,g_i)，稱之為齊次上鏈。根據 Gdisplaystyle G 在 Lidisplaystyle L_i 上的作用，這種 fdisplaystyle f 由它在形如 (e,g1,g1g2,…,g1…,gi)displaystyle (e,g_1,g_1g_2,ldots ,g_1ldots ,g_i) 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 Kidisplaystyle K^i 描述為

• 
  Kidisplaystyle K^i 的元素為 Gi→Mdisplaystyle G^ito M 之函數。


• (df)(g1,…,gi+1)=g1f(g2,…,gi+1)+∑j=1i(−1)jf(g1,…,gjgj+1,…,gi+1)+(−1)i+1f(g1,…,gi)displaystyle (df)(g_1,ldots ,g_i+1)=g_1f(g_2,ldots ,g_i+1)+sum _j=1^i(-1)^jf(g_1,ldots ,g_jg_j+1,ldots ,g_i+1)+(-1)^i+1f(g_1,ldots ,g_i)

其中的元素稱為非齊次上鏈。

綜上所述，得到 Hi(K∙)=Hi(G,M)displaystyle H^i(K^bullet )=H^i(G,M)。

例子

較常用的上同調是 H1displaystyle H^1 與 H2displaystyle H^2。從標準分解可導出以下的描述：

H1(G,M)=f:G→Mf:G→M:∃m∀g,f(g)=gm−mdisplaystyle H^1(G,M)=dfrac f:Gto Mf:Gto M:exists m,forall g,;f(g)=gm-m

準此要領，亦有

H2(G,M)=f:G2→Mf:G2→M:∃h:G→M,f(g,g′)=gh(g′)−h(gg′)+h(g)displaystyle H^2(G,M)=dfrac f:G^2to Mf:G^2to M:exists h:Gto M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)

群同調

上述理論有一對偶版本：對於任一 Gdisplaystyle G-模 Mdisplaystyle M，定義 DMdisplaystyle DM 為形如 gm−mdisplaystyle gm-m 的元素生成之子模。考慮從 Gdisplaystyle G-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

M→MG:=M/DM=Z⊗Z[G]Mdisplaystyle Mto M_G:=M/DM=mathbb Z otimes _mathbb Z [G]M

這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 Hn(G,M)displaystyle H_n(G,M)。群同調可以藉Tor函子描述為

Hi(G,M)≃ToriZ[G](Z,M)displaystyle H_i(G,M)simeq mathrm Tor _i^mathbb Z [G](mathbb Z ,M)

對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調

將上述定義中的 Gdisplaystyle G-模 Mdisplaystyle M 改成一般的群 Adisplaystyle A（未必交換），並帶有 Gdisplaystyle G 的作用 a↦g(a)displaystyle amapsto g(a)（稱之為 Gdisplaystyle G-群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調：

H0(G,A):=AG=a∈Adisplaystyle H^0(G,A):=A^G=ain A

H1(G,A):=as:G→A∃a,bs=a−1s(a)displaystyle H^1(G,A):=dfrac forall s,tin G,;a_st=a_ss(a_t)b_s:Gto A

須留意 H0(G,A),H1(G,A)displaystyle H^0(G,A),H^1(G,A) 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 Adisplaystyle A 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。

若 1→A→B→C→1displaystyle 1to Ato Bto Cto 1 是 Gdisplaystyle G-群的短正合序列，則有長正合序列

1→AG→BG→CG→H1(G,A)→H1(G,B)→H1(G,C)displaystyle 1to A^Gto B^Gto C^Gto H^1(G,A)to H^1(G,B)to H^1(G,C)

若 Adisplaystyle A落在 Bdisplaystyle B 的中心，此序列右端可再加一項 H1(G,C)→H2(G,A)displaystyle H^1(G,C)to H^2(G,A)。

性質

Res 與 Cor

若 f:H→Gdisplaystyle f:Hto G 為群同態，則可將任一 Gdisplaystyle G-模透過 fdisplaystyle f 視為 Hdisplaystyle H-模，此運算導出上同調之間的映射

H∙(G,M)→H∙(H,M)displaystyle H^bullet (G,M)to H^bullet (H,M)

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 Hdisplaystyle H 是 Gdisplaystyle G 的子群而 fdisplaystyle f 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。

由於我們假設 Gdisplaystyle G 為有限群，必有 (G:H)<∞displaystyle (G:H)<infty ，此時映射

NG/H:MH→MG,NG/H(m):=∑g∈G/Hgmdisplaystyle N_G/H:M^Hto M^G,quad N_G/H(m):=sum _gin G/Hgm

導出一個上限制映射 Cor:H∙(H,M)→H∙(G,M)displaystyle mathrm Cor :H^bullet (H,M)to H^bullet (G,M)。

定理. Cor∘Res=(G:H)iddisplaystyle mathrm Cor circ mathrm Res =(G:H)mathrm id

中心擴張

若 Mdisplaystyle M 是平凡的 Gdisplaystyle G 模（即 ∀g∈G,gm=mdisplaystyle forall gin G,;gm=m），則 H2(G,M)displaystyle H^2(G,M) 中的元素一一對應於 Gdisplaystyle G 對 Mdisplaystyle M 的中心擴張的等價類

0→M→E→pG→1displaystyle 0to Mto Estackrel pto Gto 1

中心擴張意謂：0→M→E→G→1displaystyle 0to Mto Eto Gto 1 是群擴張，而且 Mdisplaystyle M 落在 Edisplaystyle E 的中心內。

具體描述方法是：任取一映射 s:G→E,p∘s=idGdisplaystyle s:Gto E,pcirc s=mathrm id _G。sdisplaystyle s 不一定是群同態，但存在函數 f:G2→Mdisplaystyle f:G^2to M 使得 s(g)s(g′)=f(g,g′)s(gg′)displaystyle s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')。sdisplaystyle s 及 fdisplaystyle f 刻劃了 Edisplaystyle E 的群結構。不難驗證 f∈K2displaystyle fin K^2 滿足 df=0displaystyle df=0，而 sdisplaystyle s 的選取對應於 f↦f+dh,h∈K1displaystyle fmapsto f+dh,hin K^1，所以 f∈H2(G,A)displaystyle fin H^2(G,A) 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 f∈H2(G,A)displaystyle fin H^2(G,A) 都來自於某個中心擴張，證畢。

譜序列

若 N⊂Gdisplaystyle Nsubset G 是 Gdisplaystyle G 的正規子群，則有下述譜序列

Hp(G/N,Hq(N,A))⟹Hp+q(G,A).displaystyle H^p(G/N,H^q(N,A))implies H^p+q(G,A).,

對於射影有限群，此式依然成立。

參考文獻

• 
  Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. Math. Helv., 1942, 14: 257––309, MR6510, （原始内容存档于2011-05-24） 
  


• 
  Milne, James, Class Field Theory, 2007 , Chapter II


• 
  Rotman, Joseph, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8, MR1307623 
  


• 
  Serre, Jean-Pierre, Corps locaux, Paris: Hermann, 1968, ISBN 2-7056-1296-3 , Chapitre VII


• 
  Serre, Jean-Pierre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5 Fifth, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-3-540-58002-7, MR1324577 
  


• 
  Shatz, Stephen S., Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1972, ISBN 978-0-691-08017-8, MR0347778