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在數學的群論中，自由積（英语：free product，法语：produit libre）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。

自由積是群範疇中的餘積。

建構方式

若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：

displaystyle s_1s_2cdots s_n,

其中s_i是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：

除去其中的（G或H的）單位元，

將其中的g₁g₂一對元素以其在G中的積代替，將其中的h₁h₂一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：

displaystyle g_1h_1g_2h_2cdots g_kh_k.

自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。

設 $displaystyle (G_i)_iin I$ 是群的一個族。用 $G_i$ 形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出 $G_i$ 的自由積 $displaystyle *_iin IG_i$ 。

展示

設

displaystyle G=langle S_Gmid R_Grangle

是G的一個展示（S_G是生成元的集合，R_G是關係元的集合），又設

displaystyle H=langle S_Hmid R_Hrangle

是H的一個展示。那麼

displaystyle G*H=langle S_Gcup S_Hmid R_Gcup R_Hrangle .

即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）

性質

將 $displaystyle G_i_0$ 自然地映射到 $displaystyle *_iin IG_i$ 的群同態是內射，故此這個群同態將 $displaystyle G_i_0$ 嵌入到 $displaystyle *_iin IG_i$ 中為子群。

泛性質

設G是群， $displaystyle (G_i)_iin I$ 是由群組成的一個族，有一族群同態 $displaystyle (phi _icolon G_ito G)_iin I$ 。那麼存在唯一的群同態 $displaystyle phi colon *_iin IG_ito G$ ，使得對所有 $displaystyle i_0in I$ 都有