补集

补集

在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。

目录

1 相对补集

2 绝对补集

3 补集的符号

4 参考文献

5 参见

相对补集

相对补集

displaystyle A-B

若 $A$ 和 $B$ 是集合，则 $A$ 在 $B$ 中的相对补集是由所有属于 $B$ 但不属于 $A$ 的元素組成的集合。

$A$ 在 $B$ 中的相对补集记为 $displaystyle B-A$ 或 $displaystyle Bsetminus A$ 。

形式上：

displaystyle B-A=xin Bmid xnot in A

例如：

$displaystyle 1,2,3-2,3,4=1$

$displaystyle 2,3,4-1,2,3=4$

若 $R$ 是实数集合， $displaystyle mathbb Q$ 是有理数集合，则 $displaystyle mathbb R -mathbb Q$ 为无理数集合。

下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。

命题1：若 $A,B,C$ 是集合，则下列等式恒成立：

$displaystyle C-(Acap B)=(C-A)cup (C-B)$

$displaystyle C-(Acup B)=(C-A)cap (C-B)$

$displaystyle C-(B-A)=(Acap C)cup (C-B)$

$displaystyle (B-A)cap C=(Bcap C)-A=Bcap (C-A)$

$displaystyle (B-A)cup C=(Bcup C)-(A-C)$

$displaystyle A-A=varnothing$

$displaystyle varnothing -A=varnothing$

$displaystyle A-varnothing =A$

绝对补集

绝对补集

若给定全集 $U$ ，则 $A$ 在 $U$ 中的相对补集称为 $A$ 的绝对补集（简称补集），记为 $displaystyle A^C$ ，即：

displaystyle A^C=U-A

（注意：根据ISO与中华人民共和国国家标准， $A$ 中子集 $B$ 的补集记作 $displaystyle complement _AB$ 。）

例如，若全集为自然数集合，则奇数集合的补集为偶数集合。

下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。

命题2：若 $A$ 和 $B$ 是全集 $U$ 的子集，则下列恒等式成立：

德摩根定律：

$displaystyle (Acup B)^C=A^Ccap B^C$

$displaystyle (Acap B)^C=A^Ccup B^C$

补集律：

$displaystyle Acup A^C=U$

$displaystyle Acap A^C=varnothing$

$displaystyle varnothing ^C=U$

$displaystyle U^C=varnothing$

對合：

$displaystyle (A^C)^C=A$

相对补集和绝对补集的关系：

$displaystyle A-B=Acap B^C$

$displaystyle (A-B)^C=A^Ccup B$

上述表明，若 $A$ 为 $U$ 的非空子集，则 $displaystyle A,A^C$ 是 $U$ 的一个分割。

补集的符号

补集的符号为“∁”（Unicode：U+2201）。

参考文献

参见

集合代数

朴素集合论

对称差

布尔逻辑

交集

并集

查论编集合论

公理	选择可数相关（英语：Axiom of dependent choice）外延无穷配对幂集正则性并集马丁公理（英语：Martin's axiom）公理模式替代分类

运算	笛卡儿积德摩根定律交集冪集补集对称差并集

概念方法	势基数（大基数）类可构造全集（英语：Constructible universe）连续统假设對角論證法元素有序对多元组集合族力迫一一对应序数超限归纳法文氏图

集合类型	可數集空集有限集合（继承有限集合）模糊集无限集合递归集合子集传递集合不可數集泛集（英语：Universal set）

理论	可替代的集合论集合论朴素集合论康托尔定理策梅洛广义（英语：General set theory）数学原理新基础策梅洛-弗兰克冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory）克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory）塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory）

悖论（英语：Paradoxes of set theory）问题	罗素悖论萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系統無法確定的命題列表

集合論者	亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel）伯特兰·罗素恩斯特·策梅洛格奥尔格·康托尔约翰·冯·诺伊曼库尔特·哥德尔盧菲特·澤德保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays）保罗·寇恩理查德·戴德金托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech）威拉德·蒯因

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