数域
数域 是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域 Cdisplaystyle mathbb C 的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。 目录 1 定义 2 例子 2.1 可构造数 2.2 代数数 3 注释 4 参考来源 定义 设 Pdisplaystyle mathcal P 是复数域 Cdisplaystyle mathbb C 的子集。若 Pdisplaystyle mathcal P 中包含0与1，并且 Pdisplaystyle mathcal P 中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在 Pdisplaystyle mathcal P 中，就称 Pdisplaystyle mathcal P 为一个数域 [1] :101 。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域 [2] :5 。 任何数域都包括有理数域 Qdisplaystyle mathbb Q [1] :103 [2] :5 ，但并不一定是 Qdisplaystyle mathbb Q 的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域 Rdisplaystyle mathbb R 和复数域 Cdisplaystyle mathbb C 都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。 例子 除了常见的实数域 Rdisplaystyle mathbb R 和复数域 Cdisplaystyle mathbb C 以外 [2] :5 ，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同： a+b2,a,b∈Qdisplaystyle a+bsqrt 2,;;a,bin mathbb Q 的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成 a+b2displaystyle a+bsqrt 2 的形式，故仍然在集合之中 [1] :102 。这个集合记作 Q(2)displaystyle mathbb Q (sqrt 2) ，是有理数域 Qdisplaystyle mathbb Q 的二次扩域。 可构造数 可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为 Cdi
