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环（Ring）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作+和·，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义

集合R和定义于其上的二元运算 + 和·，(R, +, ·)构成一个环，若它们满足：

1. (R, +)形成一个交换群，其单位元称为零元素，记作‘0’。即：
   
   • (R, +)是封闭的
   
   
   • (a + b) = (b + a)
   
   
   • (a + b) + c = a + (b + c)
   
   
   • 0 + a = a + 0 = a
   
   
   • ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
   
   


2. (R, ·)形成一个半群。即：
   
   • (R, ·)是封闭的
   
   
   • (a·b)·c = a·(b·c)
   
   


3. 乘法关于加法满足分配律。即：
   
   • a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
   
   
   • (a + b)·c = (a·c) + (b·c)
   
   

其中，乘法运算符·常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

基本性质

考虑一个环R，根据环的定义，易知R有以下性质：

• ∀a∈R，a·0 = 0·a = 0；（这也是为什么0作为加法群的单位元，却被称为“零元素”）'

證明:a·0 = a·(0 + 0) (環的結合律) = a·0 + a·0 => a·0 - a·0 = a·0 + a·0 - a·0 (環有加法反元素) => 0 = a·0 ； 0·a 同理

• ∀a，b∈R，(-a)·b = a·(-b) = -(a·b)；

證明: (-a)·b = (-a)·b + (a·b) - (a·b) = (-a + a)·b - (a·b) (環的結合律) = 0·b - (a·b) = -(a·b) ； a·(-b) 同理，故(-a)·b = -(a·b) = a·(-b)

环的相关概念

特殊的环

幺环

若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。

交换环

若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。

无零因子环

若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  
  • R0对乘法形成半群；
  
  
  • R0对乘法封闭；
  
  
  • R中非0元素的乘积非0；
  
  

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环R是幺环，且R0对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R0，∃a^-1∈R0，使得a^-1·a=a·a^-1=1。则R称为除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。


• 非交换的除环是體。


• 交换的除环是域。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

例子

• 
  集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  
  • R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  
  
  • R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  
  
  • R对集合的交，差以及无交并运算封闭。
  
  

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

• 
  整数环是一个典型的交换且含单位环。


• 
  有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。


• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。


• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

考虑环(R, +, )，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：

1. (I, +) 构成 (R, +) 的子群。


2. ∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。


3. ∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。

若I满足条件1，2则称I是R的右理想；
若I满足条件1，3则称I是R的左理想；
若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。

示例

• 整数环的理想：整数环Z只有形如nZ的理想。

基本性质

• 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。


• 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。


• 对于环R的两个理想A，B，记AB=ak∈A,bk∈Bdisplaystyle AB=lefta_kin A,b_kin Bright。则由定义易知：
  
  1. 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
  
  
  2. 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
  
  
  3. 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
  
  

相关概念

真（左，右，双边）理想

若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。

极大（左，右，双边）理想

环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。

• 若 I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。


• 极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。

生成理想

环R，A ⊆ R，定义<A>=RA+AR+RAR+ZA，则易知：

• <A>是环R的理想，并且<A>是R中所有包含子集A的理想的交,即<A>是R中包含子集A的最小理想。

称<A>为由子集A生成的理想，A称为<A>的生成元集。当A是有限集时，<A>称为R的有限生成理想。

• 下面是生成理想的几种特殊情况：
  
  1. 当R是交换环时，<A>=RA+ZA
  
  
  2. 当R是幺环时，<A>=RAR
  
  
  3. 当R是交换幺环时，<A>=RA
  
  


• 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想

由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。即，设a ∈ R，则<a>称为R的主理想。

素理想

真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。

素环

若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R/Idisplaystyle R/I是素环.

半素理想

环R的真理想I，若∀理想A，A² ⊆ I ⇒ A ⊆ I。则称 I 是环R的半素理想。

• 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。


• 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。


• 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R/Idisplaystyle R/I是域。


• 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I+J=Rdisplaystyle I+J=R。

有关环的其它概念

• 
  零因子 （zero divisor）：
  主条目：零因子
  
  
  

设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；