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在抽象代數中，群環是從一個群 Gdisplaystyle G 及交換環 Rdisplaystyle R 構造出的環，通常記為 R[G]displaystyle R[G] 或 RGdisplaystyle RG。其定義為：

R[G]:=⨁g∈GRegdisplaystyle R[G]:=bigoplus _gin GRe_gqquad （換言之，這是由基底 eg:g∈Gdisplaystyle e_g:gin G 張出的自由 Rdisplaystyle R-模）

其上的 Rdisplaystyle R-線性乘法運算由 eg⋅eh=eghdisplaystyle e_gcdot e_h=e_gh 給出。R[G]displaystyle R[G] 對 Rdisplaystyle R-模的加法與上述乘法形成一個 Rdisplaystyle R-代數。乘法單位元素為 1:=eedisplaystyle 1:=e_e。

最常用的是 R=Zdisplaystyle R=mathbb Z 或 R=Cdisplaystyle R=mathbb C 的群環。對於後者，C[G]displaystyle mathbb C [G] 成為 Gdisplaystyle G 的表示：s∑ageg=∑agesgdisplaystyle ssum a_ge_g=sum a_ge_sg；若 Gdisplaystyle G 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 Gdisplaystyle G，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 Cc(G)displaystyle C_c(G) 或 L1(G)displaystyle L^1(G) 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

文獻

• 
  A. A. Bovdi, Group algebra, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)


• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)