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在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 rdisplaystyle mathbf r ,! 表示；而其大小則用 rdisplaystyle r,! 來表示。

一個平面波的波前行進於空間。

在三維空間裏，平面波（plane wave）是一種波動，其波阵面（在任何時刻，波相位相等的每一點所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的傳播方向垂直於波前。假若平面波的振幅不是常數，例如，振幅是位置的函數，則稱此種平面波為「非均勻平面波」。^[1]:24-27

加以延伸，平面波這術語時常用來形容，在空間的一個局部區域裏，近似於平面波的波動。例如，一個局部區域波源，像發射無線電波的天線，所發射出的電磁波，在遠場區（英语：far-field region）可以近似為平面波。等價地說，對於在一個均勻介質內，波的傳播距離超長於波長的案例，在幾何光學的正確極限內，射線區域性地對應於近似平面波。

數學表述

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用數學來表述，波動方程式為

∇2f−1v2∂2f∂t2=0displaystyle nabla ^2f-frac 1v^2frac partial ^2fpartial t^2=0 ；

其中，f(x,t)displaystyle f(mathbf x ,t) 是描述波動的函數，∇2displaystyle nabla ^2 是拉普拉斯算符，vdisplaystyle v 是波動傳播的速度，xdisplaystyle mathbf x 是位置，tdisplaystyle t 是時間。

描述平面波的函數 ψ~(x,t)displaystyle tilde psi (mathbf x ,t) 是波動方程式的一種解答：

∇2ψ~−1v2∂2ψ~∂t2=0displaystyle nabla ^2tilde psi -frac 1v^2frac partial ^2tilde psi partial t^2=0 。

平面波 ψ~(x,t)displaystyle tilde psi (mathbf x ,t) 的形式為：

ψ~(x,t)=A~ei(k⋅x−ωt)displaystyle tilde psi (mathbf x ,t)=tilde Ae^i(mathbf k cdot mathbf x -omega t) ；

其中，idisplaystyle i 是虛數單位，kdisplaystyle mathbf k 是波向量，ω=kvdisplaystyle omega =kv 是角頻率，A~displaystyle tilde A 是複值的振幅純量。

取複函數的實部，則可以得到其物理意義。

Re⁡ψ~(x,t)=|A~|cos⁡(k⋅x−ωt+arg⁡A~)cos(mathbf k cdot mathbf x -omega t+arg tilde A) 。

注意到在任意時刻 t=t0displaystyle t=t_0 ，波相位不變的曲面滿足方程式

k⋅x−ωt0+arg⁡A~=c1displaystyle mathbf k cdot mathbf x -omega t_0+arg tilde A=c_1 ，

或者，

k⋅x=c2displaystyle mathbf k cdot mathbf x =c_2 ；

其中，c1displaystyle c_1 、c2displaystyle c_2 是任意常數。

所有滿足這方程式的 xdisplaystyle mathbf x 形成一個與 kdisplaystyle mathbf k 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 kdisplaystyle mathbf k 相互垂直，都相互平行。

對於向量的波動方程式，像描述在彈性固體內的機械波或電磁波的波動方程式：

∇2E−1v2∂2E∂t2=0displaystyle nabla ^2mathbf E -frac 1v^2frac partial ^2mathbf E partial t^2=0 ，

∇2B−1v2∂2B∂t2=0displaystyle nabla ^2mathbf B -frac 1v^2frac partial ^2mathbf B partial t^2=0 ；

其中，Edisplaystyle mathbf E 是電場，Bdisplaystyle mathbf B 是磁場;

解答也很類似：

ψ~(x, t)=A~ei(k⋅x−ωt)displaystyle tilde boldsymbol psi (mathbf x , t)=tilde mathbf A e^i(mathbf k cdot mathbf x -omega t) ；

其中，A~displaystyle tilde mathbf A 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量，像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的聲波。

傳播於某介質內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 ω(k)displaystyle omega (mathbf k ) 表達，稱為介質的色散關係。對於這介質，波的相速度是

vp=ω/kdisplaystyle v_p=omega /k ，

群速度是

vg=∂ω∂kdisplaystyle v_g=frac partial omega partial mathbf k 。

参阅

• 波动方程

參考文獻