Dyjtyuk

情況1：直線LNM穿過三角形ABC

情況2：直線LNM在三角形ABC外面

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古希腊数学家梅涅勞斯（英语：Menelaus of Alexandria）首先证明的。它指出：如果一直线与△ABCdisplaystyle triangle ABC的边BC、CA、AB或其延長線分别交于L、M、N，则有：

ANNB⋅BLLC⋅CMMA=1displaystyle frac ANNBcdot frac BLLCcdot frac CMMA=1。

它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在△ABCdisplaystyle triangle ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足

ANNB⋅BLLC⋅CMMA=1displaystyle frac ANNBcdot frac BLLCcdot frac CMMA=1

则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1。

该定理与塞瓦定理的等式仅在条件上有所不同，二者互为对偶定理。

证明

如情況一，设∠ANM=αdisplaystyle angle ANM=alpha ，∠AMN=βdisplaystyle angle AMN=beta ，∠MLC=γdisplaystyle angle MLC=gamma ，則在△AMNdisplaystyle triangle AMN中由正弦定理，有

ANAM=sin⁡βsin⁡α,displaystyle frac ANAM=frac sin beta sin alpha ,

同理，因對頂角相等在△NBLdisplaystyle triangle NBL和△CLMdisplaystyle triangle CLM中有

BLBN=sin⁡αsin⁡γ,displaystyle frac BLBN=frac sin alpha sin gamma ,

及

CMCL=sin⁡γsin⁡β.displaystyle frac CMCL=frac sin gamma sin beta .

三式相乘即得

ANAM⋅BLBN⋅CMCL=sin⁡βsin⁡α⋅sin⁡αsin⁡γ⋅sin⁡γsin⁡β=1,displaystyle frac ANAMcdot frac BLBNcdot frac CMCL=frac sin beta sin alpha cdot frac sin alpha sin gamma cdot frac sin gamma sin beta =1,

即

ANNB⋅BLLC⋅CMMA=1.displaystyle frac ANNBcdot frac BLLCcdot frac CMMA=1.

历史

目前不确定是谁首先发现了梅涅劳斯定理。现存最早的关于定理的内容出现在梅涅劳斯的著作《球面三角学》中。在本书中，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。^[1]

在《天文学大成》中，托勒密将该定理应用于球形天文学中的许多问题。^[2]
在伊斯兰黄金时代，穆斯林学者投入了大量从事墨涅劳斯定理研究的著作，他们称之为“关于割线的命题”（shakl al-qatta'）。完全四边形在他们的术语中被称为“割线图”。比鲁尼的作品“天文学的钥匙”列出了其中的一些作品；这些作品都可被归类为托勒密的《天文学大成》内容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每个作品都展示了梅涅劳斯定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作为独立论文组成的作品，例如：

塔比·伊本·库拉撰写的“关于割线图的论述”（Risala fi shakl al-qatta'）。^[2]
Husam al-DIn al-Salar的《揭开割线图的奥秘》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被称为《割线图之书》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或在欧洲被称为“完全四边形的论文”。 Al-Tusi和Nasir al-Din al-Tusi提到了其中丢失的内容。^[2]
阿尔·锡杰齐的工作。^[3]
Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。^[3]
Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻译和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（来自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及历史和数学评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4

参见

• 
  Russell, John Wellesley. Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. 1905. 
  

維基教科書中的相關電子教程：梅涅劳斯定理

• 塞瓦定理

参考文献

外部链接

• 
  Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
  


• Menelaus From Ceva


• Ceva and Menelaus Meet on the Roads


• 
  Menelaus and Ceva at MathPages


• 
  Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.


• 埃里克·韦斯坦因. Menelaus' Theorem. MathWorld.