希羅(海龍)如何證明海龍公式

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8 GP

希羅(海龍)如何證明海龍公式

作者：他是誰ehsiohw│2018-09-14 23:24:02│贊助：16│人氣：66

記得以前國中老師有教一些三角形面積速算法，海龍公式是其中一個，老師沒有解釋為什麼。

結果寫考卷時題目有誤，導致海龍公式沒用後來學到用餘弦定理證明海龍公式。

不過，海龍公式的發現者－－希羅並不是用餘弦定理證明的，而是用眼看，用腦想出來的。

希羅是怎麼想出海龍公式的呢？首先先任意畫出一個三角形

然後做出內接圓和內心(三角平分線交點)

令內接圓圓心為Ｉ，交三邊於Ｄ、Ｅ、Ｆ

根據角平分線性質，可得下圖：

2x+2y+2z=三角形周長

所以x+y+z=s(周長的一半)

再令線段

ＡＢ＝c=x+y

ＡＣ＝b=x+z

ＢＣ＝a=y+z

可以得到下圖：

作ＩＣ垂直ＩＬ，ＡＣ垂直ＡＬ，如下圖：

連接ＣＬ，如下圖：

因為角ＣＩＬ和角ＣＡＬ＝90度，所以ＡＩＬＣ四點共圓

根據內心性質，角度平分，可得下圖：

2x+2y+2z=360度

x+y+z=180度

因為ＡＩＬＣ四點共圓，所以角ＡＩＣ+角ＡＬＣ＝180度

又因為角ＡＩＣ＝x+z

所以角ＡＬＣ＝y

根據1.和2.

角ＣＡＬ＝角ＢＦＩ＝90度

角ＡＬＣ＝角ＢＩＦ

所以三角形ＢＦＩ和三角形ＣＡＬ相似，如下圖：

後面就用相似形邊長化簡，但還有不少步驟

(AC交IL於K，三角形ALK相似三角形KEI……)

我累了……之後有機會再更吧

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留言共 9 篇留言

闇魂赤眼真王之platypus：
我只會用餘弦證

https://truth.bahamut.com.tw/s01/201710/8927b5b9cca1c6a5dc388ecfebc711e4.JPG

09-14 23:27

他是誰ehsiohw：
https://truth.bahamut.com.tw/s01/201809/b53a25f6a275f89fe5e75e302bb1b728.JPG 09-14 23:45

他是誰ehsiohw：
我的手稿，可是要轉成文字解釋好難還有用小畫家畫圖好累[e18]09-14 23:46

鈴鈴：
我都在睡覺

09-14 23:34

他是誰ehsiohw：
周公Online隨時隨地登入09-14 23:47

Crab：
下拉

09-14 23:36

他是誰ehsiohw：
正確09-14 23:48

夜貓Nightcats：
趕快給個GP讓別人以為我看得懂

09-14 23:48

他是誰ehsiohw：
我還沒寫完欸w09-14 23:51

緋✿：
也太認真話說海龍公式不是高中教的嗎？？

09-15 01:03

他是誰ehsiohw：
忘記了[e18]09-15 23:21

蝸蝸牛(๑•ㅂ•)：
靠北我只知道海龍公式不知道怎麼證明= = 國中補習班先偷教了

09-15 01:55

他是誰ehsiohw：
我覺得把公視背起來比較簡單，證明太麻煩了而且用不到09-15 23:22

他是誰ehsiohw：
式啦幹09-15 23:23

黑兔：
國二知道這個東西，補血班證明有聽沒有懂

09-15 07:20

他是誰ehsiohw：
背起來就對了09-15 23:22

阮氏內褲aka胖胖貓：
國中老師有教

但我什麼都聽不懂

09-15 11:17

他是誰ehsiohw：
+1[e27]09-15 23:23

瑄瑄瑄—統測模式：
又是數學ヽ(ˊ Дˋ )ﾉ

09-15 23:10

他是誰ehsiohw：
（再次溺水[e26]09-15 23:21

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