拉格朗日量





約瑟夫·拉格朗日


在分析力學裏，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又稱為拉格朗日函數，是描述整个物理系统的动力状态的函数，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能[1]，以方程式表示為



L=T−Vdisplaystyle mathcal L=T-Vmathcal L=T-V；

其中，Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L為拉格朗日量，Tdisplaystyle TT為動能，Vdisplaystyle VV為勢能。


在分析力学裡，假設已知一个系统的拉格朗日量，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加运算，即可求得此系统的运动方程式。


拉格朗日量是因數學家和天文學家約瑟夫·拉格朗日而命名。




目录





  • 1 概念

    • 1.1 拉格朗日量與作用量的關係


    • 1.2 能量守恆定律



  • 2 拉格朗日表述

    • 2.1 重要性


    • 2.2 优点


    • 2.3 可略坐標和守恆定律



  • 3 经典力学实例

    • 3.1 直角坐标系


    • 3.2 球坐标系



  • 4 檢驗粒子的拉格朗日量

    • 4.1 狹義相對論裏的拉格朗日量


    • 4.2 電動力學裏的相對論性拉格朗日量


    • 4.3 協變的拉格朗日量


    • 4.4 電動力學裏的相對論性拉格朗日量的協變表述



  • 5 参见


  • 6 参考文献




概念


拉格朗日量是动能Tdisplaystyle TT与势能Vdisplaystyle VV的差值：



L=T−Vdisplaystyle mathcal L=T-Vmathcal L=T-V。

通常，動能的參數為廣義速度q˙1,q˙2,q˙3,…,q˙Ndisplaystyle dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ,dot q_Ndot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ,dot q_N（符號上方的點號表示對於時間tdisplaystyle tt的全導數），而勢能的參數為廣義座標q1,q2,q3,…,qN;tdisplaystyle q_1,q_2,q_3,dots ,q_N;tq_1,q_2,q_3,dots ,q_N;t，所以，拉格朗日量的參數為q1,q2,q3,…,qN;q˙1,q˙2,q˙3,…,q˙N;tdisplaystyle q_1,q_2,q_3,dots ,q_N;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ,dot q_N;tq_1,q_2,q_3,dots ,q_N;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ,dot q_N;t。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。


假設一個物理系統的拉格朗日量為Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為



ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_iright)-frac partial mathcal Lpartial q_i=0frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_iright)-frac partial mathcal Lpartial q_i=0；

其中，tdisplaystyle tt是时间，qidisplaystyle q_iq_i是广义坐标，q˙idisplaystyle dot q_idot q_i是广义速度。



拉格朗日量與作用量的關係


一個物理系統的作用量Sdisplaystyle mathcal Smathcal S是一種泛函，以數學方程式定義為



S =def ∫t1t2L(q,q˙,t)dtdisplaystyle mathcal S stackrel mathrm def = int _t_1^t_2L(mathbf q ,dot mathbf q ,t),dtmathcal S stackrel mathrm def= int _t_1^t_2L(mathbf q,dot mathbf q,t),dt；

其中，L(q,q˙,t)displaystyle L(mathbf q ,dot mathbf q ,t)L(mathbf q,dot mathbf q,t)是系統的拉格朗日量，廣義座標q=(q1,q2,…,qN)displaystyle mathbf q =left(q_1,q_2,ldots ,q_Nright)mathbf q=left(q_1,q_2,ldots ,q_Nright)是時間tdisplaystyle tt的函數，t1displaystyle t_1t_1和t2displaystyle t_2t_2分別為初始時間和終結時間。


假若，作用量的一次變分δS=0displaystyle delta mathcal S=0delta mathcal S=0，作用量Sdisplaystyle mathcal Smathcal S為平穩值，則q(t)displaystyle mathbf q (t)mathbf q(t)正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程式


詳盡相關導引，請參閱拉格朗日方程式。



能量守恆定律


思考拉格朗日量對於時間的全導數：



dLdt=∑i∂L∂qiq˙i+∑i∂L∂q˙iq¨i+∂L∂tdisplaystyle frac dmathcal Ldt=sum _ifrac partial mathcal Lpartial q_idot q_i+sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_iddot q_i+frac partial mathcal Lpartial tfrac dmathcal Ldt=sum _ifrac partial mathcal Lpartial q_idot q_i+sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_iddot q_i+frac partial mathcal Lpartial t。

將拉格朗日方程式代入，可以得到



dLdt=∑iddt(∂L∂q˙i)q˙i+∑i∂L∂q˙iq¨i+∂L∂t=∑iddt(∂L∂q˙iq˙i)+∂L∂tdisplaystyle beginalignedfrac dmathcal Ldt&=sum _ifrac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_iright)dot q_i+sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_iddot q_i+frac partial mathcal Lpartial t\&=sum _ifrac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_idot q_iright)+frac partial mathcal Lpartial t\endalignedbeginalignedfrac dmathcal Ldt&=sum _ifrac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_iright)dot q_i+sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_iddot q_i+frac partial mathcal Lpartial t\&=sum _ifrac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot q_idot q_iright)+frac partial mathcal Lpartial t\endaligned。

定義能量函數h(q1,q2,q3,…;q˙1,q˙2,q˙3,…;t)displaystyle mathit h(q_1,q_2,q_3,dots ;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ;t)mathit h(q_1,q_2,q_3,dots ;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dots ;t)為



h =def ∑i∂L∂q˙iq˙i−Ldisplaystyle mathit h stackrel def= sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_idot q_i-mathcal Lmathit h stackrel def= sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot q_idot q_i-mathcal L，

則能量函數與拉格朗日量有以下含時關係式：



dhdt=−∂L∂tdisplaystyle frac dmathit hdt=-frac partial mathcal Lpartial tfrac dmathit hdt=-frac partial mathcal Lpartial t。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，∂L∂t=0displaystyle frac partial mathcal Lpartial t=0frac partial mathcal Lpartial t=0，則能量函數是個常數：h=Edisplaystyle mathit h=Emathit h=E。稱這常數Edisplaystyle EE為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆[2]。



拉格朗日表述



重要性


拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的平穩作用量原理，現在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。



优点


  • 拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，對於系统的种种約束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。
  • 拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术領域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。
  • 如果用同样的表述可以分析不同学术領域的物理系统，这些系统必定有結构上的类推。在一个学术領域的新发现，意味著很可能在另一个学术領域会有类似的现象。


可略坐標和守恆定律


拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L跟某廣義速度q˙2displaystyle dot q_2dot q_2有關，而跟廣義坐標q2displaystyle q_2q_2無關，則對應的廣義動量p2displaystyle p_2p_2是一個守恆量。這種坐標稱為「可略坐標」，或「循環坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為



L(q1,q3,q4,…;q˙1,q˙2,q˙3,q˙4,…;t)displaystyle mathcal L(q_1,q_3,q_4,dots ;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dot q_4,dots ;t)mathcal L(q_1,q_3,q_4,dots ;dot q_1,dot q_2,dot q_3,dot q_4,dots ;t)。

直接檢視，就可以發覺Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L跟q2displaystyle q_2q_2無關，因此可以推斷p2displaystyle p_2p_2是一個守恆量。


以此類推，假設，時間tdisplaystyle tt不在Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L的表達式裏面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。



经典力学实例


假设，在三维空间裏，一個運動中的粒子的動能為T=12mr˙2=12m(x1˙2+x2˙2+x3˙2)displaystyle T=frac 12mdot mathbf r ^2=frac 12m(dot x_1^2+dot x_2^2+dot x_3^2)T=frac 12mdot mathbf r^2=frac 12m(dot x_1^2+dot x_2^2+dot x_3^2)，勢能為V(r)displaystyle V(r)V(r)，則拉格朗日量是



L(r,r˙)=12mr˙2−V(r)displaystyle mathcal L(mathbf r ,dot mathbf r )=frac 12mdot mathbf r ^2-V(r)mathcal L(mathbf r,dot mathbf r)=frac 12mdot mathbf r^2-V(r)；

其中，mdisplaystyle mm是粒子質量，rdisplaystyle mathbf r mathbf r 是位置向量，vdisplaystyle vv是粒子的速度。



直角坐标系


採用直角坐标系。那麼，拉格朗日方程式就是



ddt(∂L∂x˙i)−∂L∂xi=0 ,i=1, 2, 3displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot x_iright)-frac partial mathcal Lpartial x_i=0 ,qquad qquad qquad qquad i=1, 2, 3frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot x_iright)-frac partial mathcal Lpartial x_i=0 ,qquad qquad qquad qquad i=1, 2, 3；

其中，xidisplaystyle x_ix_i是位置向量rdisplaystyle mathbf r mathbf r 的第idisplaystyle ii個直角坐标分量。


那麼，



ddt(∂L∂x˙i)=mx¨idisplaystyle frac ddtleft(frac partial Lpartial dot x_iright)=mddot x_ifrac ddtleft(frac partial Lpartial dot x_iright)=mddot x_i、


∂L∂xi=− ∂V∂xidisplaystyle frac partial mathcal Lpartial x_i=- frac partial Vpartial x_ifrac partial mathcal Lpartial x_i=- frac partial Vpartial x_i。

这物理系统的运动方程式为



mr¨+∇V=0displaystyle mddot mathbf r +boldsymbol nabla V=0mddot mathbf r+boldsymbol nabla V=0。

由於势能對於位置的負梯度是作用力：F=−∇V(r)displaystyle mathbf F =-boldsymbol nabla V(r)mathbf F=-boldsymbol nabla V(r)，所以，



F=mr¨displaystyle mathbf F =mddot mathbf r mathbf F=mddot mathbf r。

这方程式与牛顿第二定律方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。


能量函數hdisplaystyle mathit hmathit h為



h=∑i∂L∂x˙ix˙i−L=m∑ix˙i2−L=12m∑ix˙i2+V(r)=T+V=Edisplaystyle mathit h=sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot x_idot x_i-mathcal L=msum _idot x_i^2-mathcal L=frac 12msum _idot x_i^2+V(mathbf r )=T+V=Emathit h=sum _ifrac partial mathcal Lpartial dot x_idot x_i-mathcal L=msum _idot x_i^2-mathcal L=frac 12msum _idot x_i^2+V(mathbf r)=T+V=E，

由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數hdisplaystyle mathit hmathit h是個常數Edisplaystyle EE。



球坐标系


假設選擇球坐标系，則拉格朗日量是



L(r, θ, φ, r˙, θ˙, φ˙)=m2(r˙2+r2θ˙2+r2sin2⁡θφ˙2)−V(r)displaystyle mathcal L(r, theta , varphi , dot r, dot theta , dot varphi )=frac m2(dot r^2+r^2dot theta ^2+r^2sin ^2theta dot varphi ^2)-V(r)mathcal L(r, theta , varphi , dot r, dot theta , dot varphi )=frac m2(dot r^2+r^2dot theta ^2+r^2sin ^2theta dot varphi ^2)-V(r)；

其中，rdisplaystyle rr是径向距离，θdisplaystyle theta theta 是天顶角，φdisplaystyle varphi varphi 是方位角。


稍加运算，得到运动方程式为：



ddt(∂L∂r˙)−∂L∂r=mr¨−mr(θ˙2+sin2⁡θφ˙2)+dVdr=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot rright)-frac partial mathcal Lpartial r=mddot r-mr(dot theta ^2+sin ^2theta dot varphi ^2)+frac dVdr=0frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot rright)-frac partial mathcal Lpartial r=mddot r-mr(dot theta ^2+sin ^2theta dot varphi ^2)+frac dVdr=0、


ddt(∂L∂θ˙)−∂L∂θ=ddt(mr2θ˙)−mr2sin⁡θcos⁡θφ˙2=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot theta right)-frac partial mathcal Lpartial theta =frac ddt(mr^2dot theta )-mr^2sin theta cos theta dot varphi ^2=0frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot theta right)-frac partial mathcal Lpartial theta =frac ddt(mr^2dot theta )-mr^2sin theta cos theta dot varphi ^2=0、


ddt(∂L∂φ˙)−∂L∂φ=ddt(mr2sin2⁡θφ˙)=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot varphi right)-frac partial mathcal Lpartial varphi =frac ddt(mr^2sin ^2theta dot varphi )=0frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot varphi right)-frac partial mathcal Lpartial varphi =frac ddt(mr^2sin ^2theta dot varphi )=0。

特別注意，Ldisplaystyle mathcal Lmathcal L跟φdisplaystyle varphi varphi 無關。所以，φdisplaystyle varphi varphi 是可略坐标，角動量的z-分量Lz=mr2sin2⁡θφ˙displaystyle L_z=mr^2sin ^2theta dot varphi L_z=mr^2sin ^2theta dot varphi 是常数。



檢驗粒子的拉格朗日量


假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。



狹義相對論裏的拉格朗日量


在狹義相對論的四維空間裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為[2]



L=−mc21−v2c2−Vdisplaystyle mathcal L=-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2-Vmathcal L=-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2-V；

其中，mdisplaystyle mm是粒子的靜質量，cdisplaystyle cc是光速，vdisplaystyle vv是粒子的速度。


其拉格朗日方程式為



ddt(∂L∂x˙i)−∂L∂xi=ddt(γmx˙i)+∂V∂xi=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot x_iright)-frac partial mathcal Lpartial x_i=frac ddt(gamma mdot x_i)+frac partial Vpartial x_i=0fracddtleft(fracpartial mathcalLpartial dotx_iright) - fracpartial mathcalLpartial x_i="fracddt(gamma mdotx_i)+fracpartial Vpartial x_i=0"/>；

其中，γ=1/1−v2/c2displaystyle gamma =1/sqrt 1-v^2/c^2gamma =1/sqrt 1-v^2/c^2是勞侖茲因子。


注意到動量pi=γmx˙idisplaystyle p_i=gamma mdot x_ip_i=gamma mdot x_i、作用力Fi=− ∂V∂xidisplaystyle F_i=- frac partial Vpartial x_iF_i=- frac partial Vpartial x_i。將這些公式代入拉格朗日方程式，就可複製牛頓第二定律的方程式：



F=dpdtdisplaystyle mathbf F =frac dmathbf p dtmathbf F=frac dmathbf pdt。

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。


這粒子的廣義動量pidisplaystyle p_ip_i定義為



pi =def ∂L∂x˙i=γmx˙idisplaystyle p_i stackrel def= frac partial mathcal Lpartial dot x_i=gamma mdot x_ip_i stackrel def= frac partial mathcal Lpartial dot x_i=gamma mdot x_i。
  • 假設這物理系統的勢能為零，這粒子是自由粒子，則此系統的能量函數hdisplaystyle hh為

h=∑i=13γmx˙i2−L=γmv2+mc21−v2c2=γmc2displaystyle h=sum _i=1^3gamma mdot x_i^2-mathcal L=gamma mv^2+mc^2sqrt 1-frac v^2c^2=gamma mc^2h=sum _i=1^3gamma mdot x_i^2-mathcal L=gamma mv^2+mc^2sqrt 1-frac v^2c^2=gamma mc^2。
這是質能方程式：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方！
  • 假設粒子速度超小於光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為

−mc21−v2c2≈−mc2(1−v22c2)=−mc2+12mv2=−mc2+Tdisplaystyle -mc^2sqrt 1-frac v^2c^2approx -mc^2left(1-frac v^22c^2right)=-mc^2+frac 12mv^2=-mc^2+T-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2approx -mc^2left(1-frac v^22c^2right)=-mc^2+frac 12mv^2=-mc^2+T。
靜質量的能量mc2displaystyle mc^2mc^2是個常數，可以忽略（其變分等於零）。相對論性拉格朗日量又變回經典拉格朗日量：

L=T−Vdisplaystyle mathcal L=T-Vmathcal L=T-V。


電動力學裏的相對論性拉格朗日量


一個移動於電磁場的帶電粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為



L=−mc21−v2c2−qϕ(r)+qv⋅A(r,t)displaystyle mathcal L=-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2-qphi (mathbf r )+qmathbf v cdot mathbf A (mathbf r ,t)mathcal L=-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2-qphi (mathbf r)+qmathbf vcdot mathbf A(mathbf r,t)；

其中，qdisplaystyle qq是帶電粒子的電荷量，ϕdisplaystyle phi phi 是電勢，Adisplaystyle mathbf A mathbfA是磁向量勢。


其拉格朗日方程式為



ddt(∂L∂x˙i)−∂L∂xi=ddt(γmx˙i)+qdAidt−q∂ϕ∂xi−q∑j=13vj∂Aj∂xi=0displaystyle frac ddtleft(frac partial mathcal Lpartial dot x_iright)-frac partial mathcal Lpartial x_i=frac ddt(gamma mdot x_i)+qfrac dA_idt-qfrac partial phi partial x_i-qsum _j=1^3v_jfrac partial A_jpartial x_i=0fracddtleft(fracpartial mathcalLpartial dotx_iright) - fracpartial mathcalLpartial x_i="fracddt(gamma mdotx_i)+qfracd A_id t - qfracpartial phipartial x_i - qsum_j=1^3 v_j fracpartial A_jpartial x_i=0"/>。

所以，



ddt(γmx˙i)=−qdAidt+q∂ϕ∂xi+q∑j=13vj∂Aj∂xidisplaystyle frac ddt(gamma mdot x_i)=-qfrac dA_idt+qfrac partial phi partial x_i+qsum _j=1^3v_jfrac partial A_jpartial x_ifrac ddt(gamma mdot x_i)=-qfrac dA_idt+qfrac partial phi partial x_i+qsum _j=1^3v_jfrac partial A_jpartial x_i。

注意到作用力F=ddt(γmx˙i)displaystyle mathbf F =frac ddt(gamma mdot x_i)mathbf F=frac ddt(gamma mdot x_i)，電場E=−∇ϕdisplaystyle mathbf E =-nabla phi mathbf E=-nabla phi ，磁場B=∇×Adisplaystyle mathbf B =nabla times mathbf A mathbf B=nabla times mathbf A。將這些公式代入上述方程式，經過一番運算，就可以得到勞侖茲力方程式：



F=q(E+v×B)displaystyle mathbf F =q(mathbf E +mathbf v times mathbf B )mathbfF=q(mathbfE+mathbfvtimesmathbfB)。

這拉格朗日量可以複製出勞侖茲力方程式。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。



協變的拉格朗日量


前面這些拉格朗日量都不具有協變形式，當變換坐標系時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協變形式。


對於自由粒子，作用量Adisplaystyle mathcal Amathcal A為



A=∫t1t2Ldt=∫t1t2−mc21−v2c2 dtdisplaystyle mathcal A=int _t_1^t_2mathcal Ldt=int _t_1^t_2-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2 dtmathcal A=int _t_1^t_2mathcal Ldt=int _t_1^t_2-mc^2sqrt 1-frac v^2c^2 dt；

其中，t1displaystyle t_1t_1和t2displaystyle t_2t_2分別是初始時間和終結時間。


為了要使得拉格朗日量具有協變形式，必須引用張量來表達。採用愛因斯坦求和約定，注意到四維速度與自己的內積：



UαUα=γ2(c2−v2)=γ2c2(1−v2c2)displaystyle U^alpha U_alpha =gamma ^2(c^2-v^2)=gamma ^2c^2left(1-frac v^2c^2right)U^alpha U_alpha =gamma ^2(c^2-v^2)=gamma ^2c^2left(1-frac v^2c^2right)；

其中，Uα=X′μ=dXαdτ=γ(c,v1,v2,v3)displaystyle U^alpha =X^prime mu =frac dX^alpha dtau =gamma (c,v_1,v_2,v_3)U^alpha =X^prime mu =frac dX^alpha dtau =gamma (c,v_1,v_2,v_3)是四維速度，是四維坐標Xα=(ct,x1,x2,x3)displaystyle X^alpha =(ct,x_1,x_2,x_3)X^alpha =(ct,x_1,x_2,x_3)對於固有時τdisplaystyle tau tau 的導數（撇號表示對於固有時τdisplaystyle tau tau 的導數）。


將積分元素從微小時間元素dtdisplaystyle dtdt改變為微小固有時元素dτdisplaystyle dtau dtau，由於dt=γdτdisplaystyle dt=gamma dtau dt=gamma dtau ，協變的作用量可以寫為



A=∫τ1τ2−mcγUαUα γdτ=∫τ1τ2−mcUαUα dτdisplaystyle mathcal A=int _tau _1^tau _2-frac mcgamma sqrt U^alpha U_alpha gamma dtau =int _tau _1^tau _2-mcsqrt U^alpha U_alpha dtau mathcal A=int _tau _1^tau _2-frac mcgamma sqrt U^alpha U_alpha gamma dtau =int _tau _1^tau _2-mcsqrt U^alpha U_alpha dtau 。

協變的拉格朗日量L¯displaystyle bar mathcal Lbar mathcal L變為[2]



L¯=γL=−mcUαUα=−mcgαβUαUβdisplaystyle bar mathcal L=gamma mathcal L=-mcsqrt U^alpha U_alpha =-mcsqrt g_alpha beta U^alpha U^beta bar mathcal L=gamma mathcal L=-mcsqrt U^alpha U_alpha =-mcsqrt g_alpha beta U^alpha U^beta ；

其中，gαβdisplaystyle g_alpha beta g_alpha beta 是閔可夫斯基度規。


其拉格朗日方程式為



ddτ(∂L¯∂X′μ)−∂L¯∂Xμ=− ddτ(mcXμ′gαβUαUβ)=0displaystyle frac ddtau left(frac partial bar mathcal Lpartial X^prime mu right)-frac partial bar mathcal Lpartial X^mu =- frac ddtau left(frac mcX_mu ^prime sqrt g_alpha beta U^alpha U^beta right)=0frac ddtau left(frac partial bar mathcal Lpartial X^prime mu right)-frac partial bar mathcal Lpartial X^mu =- frac ddtau left(frac mcX_mu ^prime sqrt g_alpha beta U^alpha U^beta right)=0。

注意到約束UαUα=γ2(c2−v2)=c2displaystyle U^alpha U_alpha =gamma ^2(c^2-v^2)=c^2U^alpha U_alpha =gamma ^2(c^2-v^2)=c^2，這粒子只能運動於四維速度空間內的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程式，可以正確地複製自由粒子的運動方程式。



ddτ(mXμ′)=mXμ′′=0displaystyle frac ddtau (mX_mu ^prime )=mX_mu ^prime prime =0frac ddtau (mX_mu ^prime )=mX_mu ^prime prime =0。


電動力學裏的相對論性拉格朗日量的協變表述


現在假設這粒子是移動於電磁場的帶電粒子。電磁場的協變位勢可以寫為



qϕ(r)−qv⋅A(r,t)=qUαAα(Xβ)/γdisplaystyle qphi (mathbf r )-qmathbf v cdot mathbf A (mathbf r ,t)=qU^alpha mathbb A _alpha (X^beta )/gamma qphi (mathbf r)-qmathbf vcdot mathbf A(mathbf r,t)=qU^alpha mathbb A_alpha (X^beta )/gamma ；

其中，Aα=(ϕ/c,−A1,−A2,−A3)displaystyle mathbb A _alpha =(phi /c,-A_1,-A_2,-A_3)mathbb A_alpha =(phi /c,-A_1,-A_2,-A_3)是電磁四維勢。


協變的拉格朗日量L¯displaystyle bar mathcal Lbar mathcal L是[2]



L¯=γL=−mcgαβUαUβ−qUαAα(Xβ)displaystyle bar mathcal L=gamma mathcal L=-mcsqrt g_alpha beta U^alpha U^beta -qU^alpha mathbb A _alpha (X^beta )bar mathcal L=gamma mathcal L=-mcsqrt g_alpha beta U^alpha U^beta -qU^alpha mathbb A_alpha (X^beta )。

其拉格朗日方程式為



ddτ(∂L¯∂X′μ)−∂L¯∂Xμ=−ddτ(mXμ′+qAμ)+qUα∂Aα∂Xμ=0displaystyle frac ddtau left(frac partial bar mathcal Lpartial X^prime mu right)-frac partial bar mathcal Lpartial X^mu =-frac ddtau (mX_mu ^prime +qmathbb A _mu )+qU^alpha frac partial mathbb A _alpha partial X^mu =0frac ddtau left(frac partial bar mathcal Lpartial X^prime mu right)-frac partial bar mathcal Lpartial X^mu =-frac ddtau (mX_mu ^prime +qmathbb A_mu )+qU^alpha frac partial mathbb A_alpha partial X^mu =0。

經過一番運算，可以得到



mXμ′′=−qddτ(Aμ)+qUα∂Aα∂Xμ=−qdXαdτ∂(Aμ)∂Xα+qUα∂Aα∂Xμ=qUα(∂Aα∂Xμ−∂(Aμ)∂Xα)=qUαFμαdisplaystyle beginalignedmX_mu ^prime prime &=-qfrac ddtau (mathbb A _mu )+qU^alpha frac partial mathbb A _alpha partial X^mu \&=-qfrac dX^alpha dtau frac partial (mathbb A _mu )partial X^alpha +qU^alpha frac partial mathbb A _alpha partial X^mu \&=qU^alpha left(frac partial mathbb A _alpha partial X^mu -frac partial (mathbb A _mu )partial X^alpha right)\&=qU^alpha F_mu alpha \endalignedbeginalignedmX_mu ^prime prime &=-qfrac ddtau (mathbb A_mu )+qU^alpha frac partial mathbb A_alpha partial X^mu \&=-qfrac dX^alpha dtau frac partial (mathbb A_mu )partial X^alpha +qU^alpha frac partial mathbb A_alpha partial X^mu \&=qU^alpha left(frac partial mathbb A_alpha partial X^mu -frac partial (mathbb A_mu )partial X^alpha right)\&=qU^alpha F_mu alpha \endaligned；

其中，Fμαdisplaystyle F_mu alpha F_mu alpha 是電磁張量。


這正是勞侖茲力方程式的協變形式。總結，協變的拉格朗日方程式可以複製出協變的勞侖茲力方程式



参见


  • 哈密顿量

  • 哈密顿原理

  • 拉格朗日力学

  • 哈密顿力学


参考文献




  1. ^ Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984. ISBN 0-03-063366-4 （英语）. 


  2. ^ 2.02.12.22.3 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)















  • 查

  • 论

  • 编


经典力学

表述形式

  • 矢量力学


  • 分析力学（拉格朗日力学


  • 哈密頓力學）

基础概念

  • 空间

  • 时间

  • 速度

  • 加速度

  • 质量

  • 引力

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  • 參考系

  • 力

  • 力偶

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  • 动量

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  • 拉格朗日量

  • 哈密頓量

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京昆高速公路

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