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正八面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別	正多面体
面	8
邊	12
頂點	6
歐拉特徵數	F=8, E=12, V=6 (χ=2)
面的種類	正三角形
面的佈局（英语：Face configuration）	83
頂點圖	3.3.3.3
施萊夫利符號	3,4 and $beginBmatrix3\3endBmatrix$
對稱群	4
參考索引	U₀₅, C₁₇, W₂
對偶	正六面體
二面角	109.47122° = arccos(-1/3)
特性	正凸三角面多面體
3.3.3.3 （頂點圖）
(展開圖)
查论编

正八面體是一種八面體，由八個等邊三角形，分別為上、下各四個三角形與一個正方形組成的正方錐體，上下黏合在一起而構成，是五種正多面體的第三種，有6個頂點和12條邊。正八面體也是正三角反棱柱。正八面体是三维的正轴形，施莱夫利符号3,4，考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）。

正八面體每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。

八面體

性質

頂點數目：6

邊數目：12

面數目：8

當邊長為a時：
- 表面積： $S=2sqrt 3a^2$
- 體積： $V=frac 13sqrt 2a^3$
- 外接球半径： $r_u=frac sqrt 22a$ （外接球即过正八面体各顶点的球）
- 内切球半径： $r_i=frac sqrt 66a$ （内切球即与正八面体各面相切的球）
- 中交球半径： $r_m=frac 12a$ （中交球即过正八面体各边中点的球）

正八面体共有11种不同的展开图

坐标系

以棱长为√2的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为

( ±1, 0, 0 )

( 0, ±1, 0 )

( 0, 0, ±1 )

正八面体表面方程为：
|x|+|y|+|z|=1

更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为(x₀,y₀,z₀)，外接圆半径为r（棱长为(√2)r），则正八面体表面方程为：
|x-x₀|+|y-y₀|+|z-z₀|=r

如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为
$left|frac xx_mright|+left|frac yy_mright|+left|frac zz_mright|=1$

其内接于椭球体
$frac x^2x_m^2+frac y^2y_m^2+frac z^2z_m^2=1$

表面积S和体积V为：
$S=4,x_m,y_m,z_mtimes sqrt frac 1x_m^2+frac 1y_m^2+frac 1z_m^2$
$V=frac 43,x_m,y_m,z_m$

它的惯性张量I是：

I=beginbmatrixfrac 110m(y_m^2+z_m^2)&0&0\0&frac 110m(x_m^2+z_m^2)&0\0&0&frac 110m(x_m^2+y_m^2)endbmatrix

当 $x_m=y_m=z_m=a,frac sqrt 22$ 时，菱形体为上述正八面体。

正交投影

正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：

正交投影
正对于	棱	面的平行方向	顶点	面
图像
投影对称性	[2]	[2]	[4] B₂	[6] A₂

对称性和表面涂色

正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是O_h（正八面体群），是三维的超正八面体群（英语：Hyperoctahedral group）。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：T_d（群阶24），截半正四面体的对称群；D_3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D_4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的对称群；D_2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。

名称	正八面体	截半正四面体 (四面四面体)	正三反棱柱	正四双棱锥	长菱体
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	3,4	t₁3,3	h_0,12,6 s2,3	f_0,12,4 + 4	f_0,1,22,2 + +
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
对称群（英语：List of spherical symmetry groups）	O_h, [4,3], (*432)	T_d, [3,3], (*332)	D_3d, [2⁺,6], (2*3) D₃, [2,3]⁺, (322)	D_4h, [2,4], (*422)	D_2h, [2,2], (*222)
对称群阶	48	24	12 6	16	8
图像 (半正表面涂色)	(1111)	(1212)	(1112)

與其他形狀的關係

对偶性

正八面體的對偶多面體是立方體。

當正八面體在立方體之內：

正八面體體積 : 立方體體積

=[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊³

=(1/3)(n/2)[(n²)/2]2 : n³

=1 : 6

其它几何关联

正八面体即是星形八面体两正四面体的交集

两个互为对偶的正四面体可以组成一个复合正多面体，这两个正四面体的交集即是正八面体。这个复合多面体，也叫做星形八面体，是正八面体的第一个也是唯一一个星形展（英Stellation，暂译，目前还没有好的译名）。另一方面，从正四面体各棱中点处截去4个包含原顶点在内的线性大小只有原正四面体一半的正四面体，你也能得到正八面体，也就是说，正八面体是“截半正四面体”。在这里，正四面体与正八面体之间的关系就像立方体、正八面体与截半立方体；正十二面体、正二十面体与截半正十二面体一样。

除此以外，我们知道正二十面体还是“扭棱正四面体”，因此，正八面体与其也应该有关系。事实上，我们能够利用黄金分割从正八面体的棱上得到正二十面体的顶点。具体操作是：用有向线段代替这个正八面体的各棱，使每个面的3条有向线段恰好首尾相接，构成一圈。接着顺着每个有向线段的方向将其以黄金比例分割，分割点即是正二十面体的顶点。如果给定一正二十面体，则有5个不同的正八面体都可用上述操作得到给定正二十面体，这5个正八面体又可构成一复合正多面体，即五複合正八面體。

正八面体—正四面体堆砌的一部分

正八面体可以和正四面体一起完成三维空间的密铺，这密铺被叫做正八面体—正四面体堆砌(Octahedral-Tetrahedral Honeycomb)（同时它也是交错立方体堆砌(Alternated Cubic Honeycomb)，亦即半立方体堆砌(Demicubic Honeycomb)），是28个三维半正堆砌之一，是除立方体堆砌以外唯一一个完全由正多面体完成的三维堆砌。正八面体也参与了截半立方体堆砌。

正八面体是柏拉图立体中唯一一个在顶点处有偶数个面相交的，也是唯一一个所有对称镜面不穿过任何一面的。

以约翰逊多面体的角度来看，正八面体是双四棱锥，将其上下两个顶点截取，即得到双四棱台。

正八面体是四连通的，意味着要想打断正八面体6个顶点之间的连接，至少要撤掉4个顶点。它是4个四连通单纯形面全覆盖多面体之一，意味着它所有顶点的极大独立集（英语：maximal independent sets）都有相同大小。其余3个多面体是约翰逊多面体双五棱锥、变棱双五角锥和一个非半正的有12个顶点和20个正三角形面的多面体。

数学以外的正八面体

四面体桁架

巴克敏斯特·富勒在20世纪50年代发明了一种由正四面体和正八面体构成的球节架，其结构就是正八面体—正四面体堆砌，是公认的最强的抗悬臂压力的架结构。

四面体桁架，其中半个正八面体被加亮了

參見

八面體數

对称性: [4,3], (*432)							[4,3]⁺, (432)	[1⁺,4,3], (*332)	[4,3⁺], (3*2)


4,3	t_0,14,3	t₁4,3	t_1,24,3	3,4	t_0,24,3	t_0,1,24,3	s4,3	h4,3	h_1,24,3
半正多面体的对偶


V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


3,3	t_0,13,3	t₁3,3	t_1,23,3	t₂3,3	t_0,23,3	t_0,1,23,3	s3,3
半正多面体对偶


V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

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