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高斯符號是一个数学符号，形式为方括号[x]，表示不大於（等于或小于）数x的最大整數，即x-1＜[x]≤x。

高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《算术研究》。

运算示例：[3.14159]=3，[2]=2，[-2.5]=-3。

在计算机科学中，高斯符號常表示为INT()函数。

后来肯尼斯·艾佛森在1962年時於其著作《A Programming Language》中把高斯符号称作取底符号（⌊x⌋displaystyle lfloor xrfloor ，floor），并同时引进取顶符号（⌈x⌉displaystyle lceil xrceil ，ceil）(用以表示不小於x的整數中最小的一個)。之后大家就普遍使用取底、取顶这种说法了。

高斯符號的一些性质

• ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1displaystyle lfloor xrfloor leq x<lfloor xrfloor +1

当且仅当x是整数时，左面的等号成立。

• 对于所有实数x，有：

⌊x2⌋=14((−1)⌊x⌋−1+2⌊x⌋)displaystyle leftlfloor frac x2rightrfloor =frac 14((-1)^lfloor xrfloor -1+2lfloor xrfloor )

⌊x3⌋=−23sin⁡(2π3⌊x⌋+π3)+1displaystyle leftlfloor frac x3rightrfloor =frac -2sqrt 3sin(frac 2pi 3lfloor xrfloor +frac pi 3)+1

• 当n为正整数时，有：

⌊xn⌋=x−x(rem n)ndisplaystyle leftlfloor frac xnrightrfloor =frac x-x(rem~n)n

• 当x和n是正数时，有：

⌊nx⌋≥nx−x−1xdisplaystyle leftlfloor frac nxrightrfloor geq frac nx-frac x-1x

• 对于任何整数k和任何实数x，有：

⌊k+x⌋=k+⌊x⌋.displaystyle lfloor k+xrfloor =k+lfloor xrfloor .

• 如果x是实数，n是整数，我们有n≤xdisplaystyle nleq x 当且仅当 n≤⌊x⌋displaystyle nleq lfloor xrfloor 。


• 利用高斯符號，可以产生许多素数公式（但没有实际用途）。


• 对于非整数的实数x，高斯函数具有以下的傅里叶级数展开式：

⌊x⌋=x−12+1π∑k=1∞sin⁡(2πkx)k.displaystyle lfloor xrfloor =x-frac 12+frac 1pi sum _k=1^infty frac sin(2pi kx)k.

• 如果m和n是互素的正整数，那么：

∑i=1n−1⌊im/n⌋=(m−1)(n−1)/2displaystyle sum _i=1^n-1lfloor im/nrfloor =(m-1)(n-1)/2

参见

• 取整函数