塞瓦定理
三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部
三条线段的交点O 位于三角形ABC的外部
塞瓦線段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（英语：Ceva's theorem）指出：如果△ABCdisplaystyle triangle ABC
- BDDC⋅CEEA⋅AFFB=1displaystyle frac BDDCcdot frac CEEAcdot frac AFFB=1
它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在△ABCdisplaystyle triangle ABC
BDDC⋅CEEA⋅AFFB=1displaystyle frac BDDCcdot frac CEEAcdot frac AFFB=1，
则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。
它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，又名西瓦定理或帥氏定理。
证明
- ∵BDDC=S△ABDS△ADC=S△OBDS△ODC.displaystyle because quad frac BDDC=frac mathrm S _triangle ABDmathrm S _triangle ADC=frac mathrm S _triangle OBDmathrm S _triangle ODC.
由等比性质,
- BDDC=S△ABD−S△OBDS△ADC−S△ODC=S△ABOS△CAO.displaystyle frac BDDC=frac mathrm S _triangle ABD-mathrm S _triangle OBDmathrm S _triangle ADC-mathrm S _triangle ODC=frac mathrm S _triangle ABOmathrm S _triangle CAO.
- 同理 CEEA=S△BCOS△ABO,AFFB=S△CAOS△BCO.displaystyle frac CEEA=frac mathrm S _triangle BCOmathrm S _triangle ABO,;frac AFFB=frac mathrm S _triangle CAOmathrm S _triangle BCO.
- ∴BDDC⋅CEEA⋅AFFB=S△ABOS△CAO⋅S△BCOS△ABO⋅S△CAOS△BCO=1.displaystyle therefore quad frac BDDCcdot frac CEEAcdot frac AFFB=frac mathrm S _triangle ABOmathrm S _triangle CAOcdot frac mathrm S _triangle BCOmathrm S _triangle ABOcdot frac mathrm S _triangle CAOmathrm S _triangle BCO=1.
证毕。
系理：角平分線定理
在三角形ABCdisplaystyle ABC
另見
- 梅涅劳斯定理
- 莫雷角三分線定理
