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在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義

一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 Rn(n≥2)displaystyle mathbb R ^n;(ngeq 2) 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數：

pμ(z)=∫dμ(w)|z−w|n−2displaystyle p_mu (z)=int frac mathrm d mu (w)^n-2

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 ndisplaystyle n 維世界裡的電荷分佈——至少在 n=3displaystyle n=3 時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和：

I(μ)=∬|z−w|n−2dμ(w)dμ(z)displaystyle I(mu )=iint

當 n=2 時，兩個定義中的 |z−w|n−2displaystyle 都改取 log⁡|z−w|

設 K⊂Rndisplaystyle Ksubset mathbb R ^n 為緊集，其容度定義作

C(K):=1infμI(μ)displaystyle C(K):=dfrac 1inf _mu I(mu )

其中的下確界取遍支集在 Kdisplaystyle K 上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 pdisplaystyle p。若存在一個以 pdisplaystyle p 為極點的格林函數，則它在 pdisplaystyle p 點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

gp(x)=log⁡|x−p|+hp(x)displaystyle g_p(x)=log

其中 hpdisplaystyle h_p 是 Ω−pdisplaystyle Omega -p 上的調和函數。

此時 limx→php(x)displaystyle lim _xrightarrow ph_p(x) 決定 M−Ωdisplaystyle M-Omega 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 Mdisplaystyle M 的曲率，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 d(z,w)=|z−w|，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

文獻

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  E.D. Solomentsev, Capacity, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• 
  E.D. Solomentsev, Robin constant, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.