交換律
一個表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交換律的例子
交換律(Commutative property)是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才被聲明。
目录
1 一般用法
2 數學定義
3 歷史
4 相關性質
4.1 結合律
4.2 對稱
5 例子
5.1 日常生活中的可交換運算
5.2 數學中的可交換運算
5.3 日常生活中的不可交換運算
5.4 數學中的不可交換運算
6 數學結構與交換律
7 註記
8 參考資料
8.1 書籍
8.2 文章
8.3 線上資源
9 另見
一般用法
交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立，則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論和集合論中，許多的代數結構被稱做是可交換的，若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中，一些知名的運算（如實數及複數上的加法和乘法）的交換律會經常被用於（或假定存在於）證明之中。[1][2][3]
數學定義
「可交換」一詞被使用於如下幾個相關的概念中[4][5]：
1. 在集合 Sdisplaystyle S
- ∀x,y∈S,x∗y=y∗xdisplaystyle forall x,yin S,x*y=y*x
- 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。
2. 若稱 xdisplaystyle x
- x∗y=y∗xdisplaystyle x*y=y*x
3. 一二元函數f:A×A→Bdisplaystyle f:Atimes Ato B
∀x,y∈A,f(x,y)=f(y,x)displaystyle forall x,yin A,f(x,y)=f(y,x).
歷史
對這一詞第一個已知的應用是在1814年的一本法國期刊上
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。[6][7]且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。[8]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初，那時數學家開始在研究函數的理論。今日，交換律已被普遍認知，且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。
第一個使用「可交換（commutative）」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[9][10]，這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。[11]
相關性質
顯示加法函數對稱性的圖
結合律
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地，交換律則是指運算元的順序不會影響其最終結果的性質。
對稱
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數，則此一函數會對 y=xdisplaystyle y=x
例子
日常生活中的可交換運算
- 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算，因為不論是左邊的鞋子先洗，還是右邊的鞋子先洗，最終的結果（兩隻鞋子都洗好）是一樣的。
- 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。
數學中的可交換運算
顯現出乘法 ( 5×3=3×5displaystyle 5times 3=3times 5
) 的交換律的一個例子兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[12]：
實數的加法
- y+z=z+y∀y,z∈Rdisplaystyle y+z=z+yquad forall y,zin mathbb R
- y+z=z+y∀y,z∈Rdisplaystyle y+z=z+yquad forall y,zin mathbb R
- 例如， 4+5=5+4displaystyle 4+5=5+4
，兩個表示式都等於 9 。
實數的乘法
- yz=zy∀y,z∈Rdisplaystyle yz=zyquad forall y,zin mathbb R
- yz=zy∀y,z∈Rdisplaystyle yz=zyquad forall y,zin mathbb R
- 例如， 3×5=5×3displaystyle 3times 5=5times 3
，兩者都等於 15 。
- 更多可交換二元運算的例子包括複數的乘法、向量的加法、和集合的交集與聯集。
日常生活中的不可交換運算
串接（將字串連在一起的行為）是個不可交換運算。
- 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算，因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
魔術方塊是不可交換的。例如，將正面順時針扭轉，頂面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉（FUF'），並不會得出如將正面順時針扭轉，再將正面逆時針扭轉，最後再將頂面順時針扭轉（FF'U）一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。
數學中的不可交換運算
一些不可交換二元運算[13]有：
減法： 0−1≠1−0displaystyle 0-1neq 1-0不過可將其減法符號轉換成加上其相反數，即可使用交換律。
除法： 1÷2≠2÷1displaystyle 1div 2neq 2div 1可將除法轉換成乘上其倒數以使用交換律。
矩陣乘法：
- [0201]=[1101]⋅[0101]≠[0101]⋅[1101]=[0101]displaystyle beginbmatrix0&2\0&1endbmatrix=beginbmatrix1&1\0&1endbmatrixcdot beginbmatrix0&1\0&1endbmatrixneq beginbmatrix0&1\0&1endbmatrixcdot beginbmatrix1&1\0&1endbmatrix=beginbmatrix0&1\0&1endbmatrix
數學結構與交換律
阿貝爾群是一個群運算為可交換的群。[14]
交換環是一個乘法為可交換的環。（環中的加法依定義總會是可交換的。）[15]
域的加法與乘法都是可交換的。[16]
中心是一個群最大的可交換子集。[17]
註記
^ Axler, p.2
^ Gallian, p.34
^ p. 26,87
^ Krowne, p.1
^ Weisstein, Commute, p.1
^ Lumpkin, p.11
^ Gay and Shute, p.?
^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
^ Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
^ O'Conner and Robertson, Servois
^ Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
^ Krowne, p.1
^ Yark, p.1
^ Gallian, p.34
^ Gallian p.236
^ Gallian p.250
^ Gallian p.65
參考資料
書籍
Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.
- Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.
- Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.
- Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
文章
https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
- Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
- Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.
線上資源
- Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 8 August 2007.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韦斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
- Explanation of the term commute
Yark. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 8 August 2007
- Examples proving some noncommutative operations
- O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007
- Article giving the history of the real numbers
- Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 8 August 2007
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007
- Biography of Francois Servois, who first used the term
另見
- 反交換律
- 二元運算
- 交換子集合
- 交換子
- 分配律
- 結合律
- 遞移關係
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