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諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

定義

一個環Adisplaystyle A稱作諾特環，若且唯若對每個由Adisplaystyle A的理想構成的升鏈a1⊂a2⊂…,⊂an⊂…displaystyle mathfrak a_1subset mathfrak a_2subset ldots ,subset mathfrak a_nsubset ldots ，必存在N⊂Ndisplaystyle Nsubset mathbb N ，使得對所有的n,m≥Ndisplaystyle n,mgeq N都有an=amdisplaystyle mathfrak a_n=mathfrak a_m（換言之，此升鏈將會固定）。

另外一種等價的定義是：Adisplaystyle A的每個理想都是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。Adisplaystyle A是左（右）諾特環若且唯若Adisplaystyle A在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

基本性質

• 若A1,A2displaystyle A_1,A_2是諾特環，則其直積A1×A2displaystyle A_1times A_2亦然。


• 若Adisplaystyle A是諾特環，I⊂Adisplaystyle Isubset A是任一理想，則其商環A/Idisplaystyle A/I亦然。


• 若Adisplaystyle A是諾特環，則其上的多項式環A[X]displaystyle A[X]及冪級數環A[[X]]displaystyle A[[X]]都是諾特環。


• 若Adisplaystyle A是交換諾特環，則其對任一積性子集Sdisplaystyle S的局部化也是諾特環。


• 若Adisplaystyle A是交換環，q⊂Adisplaystyle mathfrak qsubset A為一有限生成理想，且A/qdisplaystyle A/mathfrak q是諾特環，則其完備化A^=limnA/qndisplaystyle widehat A=lim _nA/mathfrak q^n也是諾特環。


• 一個左（右）阿廷環必定是左（右）諾特環。

例子

• 整數環Zdisplaystyle mathbb Z 是諾特環。


• 對任意的域kdisplaystyle k，多項式環k[X1,…,Xn]displaystyle k[X_1,ldots ,X_n]及其商是諾特環。這是代數幾何中最常見的情形。

以下是非諾特環的例子：

• 考慮有可數個變元的多項式環k[X1,X2,…]displaystyle k[X_1,X_2,ldots ]，並考慮升鏈(X1)⊂(X1,X2)⊂⋯⊂(X1,…,Xn)⊂⋯displaystyle (X_1)subset (X_1,X_2)subset cdots subset (X_1,ldots ,X_n)subset cdots ，此升鏈不會固定。


• 考慮Rdisplaystyle mathbb R 上的全體連續函數，它們在逐點作乘法下構成一個環。考慮升鏈In:=f:x≥n⇒f(x)=0displaystyle I_n:=f:xgeq nRightarrow f(x)=0，此升鏈不會固定。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X