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在數學中，我們可以構造任意李代數 Ldisplaystyle L 的泛包絡代數 U(L)displaystyle U(L)。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質

以下固定域 Kdisplaystyle K。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 Kdisplaystyle K-結合代數 Udisplaystyle U，定義括積 [a,b]:=ab−badisplaystyle [a,b]:=ab-ba，可視 Udisplaystyle U 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 U(L)displaystyle U(L) 及一個指定的李代數同態 i:L→L(U)displaystyle i:Lto L(U)。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 Kdisplaystyle K-結合代數 Adisplaystyle A， 若存在李代數同態

h:L→Adisplaystyle h:Lto A。

則存在唯一的代數同態

g:U(L)→Adisplaystyle g:U(L)to A

使之滿足

g∘i=hdisplaystyle gcirc i=h

換言之，函子 L↦U(L)displaystyle Lmapsto U(L) 滿足下述關係：

HomAlg.(U(L),A)→∼HomLie alg.(L,A)displaystyle mathrm Hom _mboxAlg.(U(L),A)stackrel sim to mathrm Hom _mboxLie alg.(L,A)

g↦g∘idisplaystyle gmapsto gcirc i

藉此，可視 U(−)displaystyle U(-) 為 Udisplaystyle U（單位結合代數）↦Udisplaystyle mapsto U（李代數）的左伴隨函子。

構造方式

首先考慮張量代數 T(L)displaystyle T(L)，此時有自然的包含映射 i0:L→T(L)displaystyle i_0:Lto T(L)。取 I⊂T(L)displaystyle Isubset T(L) 為下列元素生成的雙邊理想

a⊗b−b⊗a−[a,b](a,b∈L)displaystyle aotimes b-botimes a-[a,b]quad (a,bin L)

定義

U(L):=T(L)/Idisplaystyle U(L):=T(L)/I

所求的映射 i:L→U(L)displaystyle i:Lto U(L) 為 i0:L→T(L)displaystyle i_0:Lto T(L) 與商映射的合成。容易驗證 idisplaystyle i 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

基本性質

• 若 Ldisplaystyle L 可交換，則 U(L)displaystyle U(L) 亦然；此時 U(L)displaystyle U(L) 同構於多項式代數。


• 若 Ldisplaystyle L 來自李群 Gdisplaystyle G，則 U(L)displaystyle U(L) 可理解為 Gdisplaystyle G 上的左不變微分算子。


• 
  U(L)displaystyle U(L) 的中心 Z(U(L))displaystyle Z(U(L)) 顯然包含 i(Z(L))displaystyle i(Z(L))，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 Ldisplaystyle L 的基 X1,…,Xndisplaystyle X_1,ldots ,X_n，此定理斷言

X1e1⋯Xnen(e1,…,en∈Z≥0)displaystyle X_1^e_1cdots X_n^e_nquad (e_1,ldots ,e_nin mathbb Z _geq 0)

是 U(L)displaystyle U(L) 的基。此定理的直接推論是：i:L→U(L)displaystyle i:Lto U(L) 為單射。

表示理論

在泛性質中取 A=End(V)displaystyle A=mathrm End (V)，其中 Vdisplaystyle V 為任意向量空間，遂可等同 Ldisplaystyle L 的表示與 U(L)displaystyle U(L) 的表示，後者不外是 U(L)displaystyle U(L)-模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6