Dyjtyuk

在數學中，考克斯特群是一類由空間中對超平面的鏡射生成的群。這類群廣泛出現於數學的各分支中，二面體群與正多胞體的對稱群都是例子；此外，根系對應到的外爾群也是考克斯特群。這類群以數學家哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特命名。

形式定義

所謂考克斯特群，是一個群 $W$ 配上如下的展示（即一組生成元與關係）：

displaystyle leftlangle r_1,r_2,ldots ,r_nmid (r_ir_j)^m_ij=1rightrangle

其中 $displaystyle m_ijin mathbb N cup infty$ 滿足

對稱性－ $displaystyle m_ij=m_ji$

$displaystyle ineq jRightarrow m_ijgeq 2$

$displaystyle m_ii=1$

在此 $displaystyle m_ij=infty$ 意指 $displaystyle r_i,r_j$ 之間沒有關係。注意到性質三蘊含 $displaystyle r_i^2=e$ ；若 $displaystyle m_ij=2$ ，則 $displaystyle r_ir_j=r_jr_i$ 。

令這組生成元為 $S$ 。資料 $displaystyle (W,S)$ 稱為考克斯特群。方陣 $displaystyle (m_ij)_ij$ 稱為考克斯特矩陣。

性質

有限考克斯特群的分類

設 $displaystyle (W,S)$ 為考克斯特群，可證明存在一個有限維實矢量空間 $V$ 及其上的非退化雙線性形 $q$ （未必正定），使得 $W$ 同構於正交群 $displaystyle O(q)$ 的某個子群。由於 $S$ 的元素均為二階，可視之為 $displaystyle (V,q)$ 中對某些超平面的鏡射。

利用 $displaystyle (W,S)$ 的展示，定義元素的長度如下：對 $w in W$ ，定義其長度 $displaystyle ell (w)$ 為所有表法 $displaystyle w=r_i_1cdots r_i_s;(r_jin S)$ 中最短的 $s$ 。由此可導出

displaystyle forall sin S,;ell (ws)=ell (w)pm 1

displaystyle ell (w^-1)=ell (w)

例子

對稱群 $S_n$ 是考克斯特群。在此可取 $S$ 為置換 $displaystyle (1,2),(2,3),ldots ,(n-1,n)$ ；關係為 $displaystyle ((k,k+1)(k+1,k+2))^3=1$ 。

正多胞體的對稱：正多胞體的對稱群是有限考克斯特群。舉例明之：正多邊形的對稱群是二面體群，正 n 維單形的對稱群是前述的 $S_n+1$ ，又稱為 $A_n$ 型的考克斯特群。n 維超正方體的對稱群為 $displaystyle BC_n$ 。正十二面體與正二十面體的對稱群是 $displaystyle H_3$ 。在四維空間中，存在三種特別的正多胞體──正二十四胞體、正一百二十胞體與正六百胞體，其對稱群分別是 $displaystyle F_4,H_4,H_4$ 。 $displaystyle D_n,E_6,E_7,E_8$ 可以由某些半正多胞體的對稱群得到。