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倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里叶变换，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。

倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：

字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。

數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m為實數）

演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱

複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。

複數倒頻譜與實數倒頻譜

複數倒頻譜

$displaystyle widehat xleft[nright]=int _-frac 12^frac 12widehat Xleft(Fright)e^j2pi FdF$

其中 $X(F)$

可能遭遇的問題

1. $displaystyle log 0=-infty$

2. $displaystyle arg[X[n]]$ 有無限多的解

當輸入是實數時,因為 $X(F)$ 偶對稱， $displaystyle arg[X(F)]$ 奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數

實數倒頻譜

$e^j2pi FndF$

可能遭遇的問題

1. $displaystyle log 0=-infty$

應用

倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震回音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。

自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。

倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。

倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。

倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑干擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。

語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。

倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。

倒頻譜與同型聲音理論(hormomorphic sound theory)有關。

倒頻譜觀念

頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

倒濾波器

濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。

計算倒頻譜的方法

直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換)

$displaystyle widehat xleft[nright]=int _-frac 12^frac 12widehat Xleft(Fright)e^j2pi FdF$

問題: $displaystyle widehat Xleft(Fright)$ 可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解

利用Z轉換的零點與極點

先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式
$displaystyle Xleft(Zright)=cfrac AZ^rprod _k=1^m_i(1-a_kZ^-1)prod _k=1^m_0(1-b_kZ)prod _k=1^P_i(1-c_kZ^-1)prod _k=1^P_0(1-d_kZ)$

其中 $c_kright$

分子:

第一項A是係數

第二項 $displaystyle Z^r$ 是延遲

第三項是位於單位圓內的零點

第四項是位於單位圓外的零點

分母:

第一項是位於單位圓內的極點

第二項是位於單位圓外的極點

對 $displaystyle Xleft(Zright)$ 取log變成 $displaystyle widehat Xleft(Zright)$
$displaystyle widehat Xleft(Zright)=logXleft(Zright)=log A+rlog Z+sum _k=1^m_ilog(1-a_kZ^-1)+sum _k=1^m_0log(1-b_kZ)-sum _k=1^P_ilog(1-c_kZ^-1)-sum _k=1^P_0log(1-d_kZ)$

假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形

根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換
$displaystyle widehat xleft[nright]=begincaseslog A&mboxif n=0\-sum _k=1^m_icfrac a_k^nn+sum _k=1^P_icfrac c_k^nn&mboxif n>0\sum _k=1^m_0cfrac b_k^-nn-sum _k=1^P_0cfrac d_k^-nn&mboxif n<0endcases$

注意事項

1. $displaystyle widehat xleft[nright]$ 總是IIR(無限脈衝響應)

2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況, $displaystyle c_k=0,d_k=0$

利用Z轉換與微分

$displaystyle Zcdot widehat X'left(Zright)=Zcdot cfrac X'left(Zright)Xleft(Zright)$
$displaystyle ZX'left(Zright)=Zwidehat X'left(Zright)cdot Xleft(Zright)$

對其做Z的反轉換
$displaystyle nx[n]=sum _k=-infty ^infty kwidehat xleft[kright]x[n-k]$

故
$displaystyle x[n]=sum _k=-infty ^infty frac knwidehat xleft[kright]x[n-k]quad for nneq 0$

分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸

1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. $displaystyle x[n]=widehat xleft[nright]=0,n<0$

對於 $displaystyle x[n]=sum _k=-infty ^infty frac knwidehat xleft[kright]x[n-k]quad for nneq 0$

可得出
$displaystyle x[n]=sum _k=0^infty frac knwidehat xleft[kright]x[n-k]quad for n>0$

故
$displaystyle x[n]=widehat xleft[nright]x[0]+sum _k=0^n-1frac knwidehat xleft[kright]x[n-k]$

2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)
$displaystyle widehat xleft[nright]=begincases0&mboxif n<0\cfrac x[n]x[0]-sum _k=0^n-1cfrac knwidehat xleft[kright]cfrac x[n-k]x[0]&mboxif n>0\log A&mboxif n=0endcases$

3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. $displaystyle x[n]=widehat xleft[nright]=0,n>0$
$displaystyle beginalignedx[n]&=sum _k=n^0cfrac knwidehat xleft[kright]x[n-k]quad for n<0\&=widehat xleft[nright]x[0]+sum _k=n+1^0cfrac knwidehat xleft[kright]x[n-k]\endaligned$

4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)
$displaystyle widehat xleft[nright]=begincases0&mboxif n>0\cfrac x[n]x[0]-sum _k=n+1^0cfrac knwidehat xleft[kright]cfrac x[n-k]x[0]&mboxif n<0\log A&mboxif n=0endcases$

特性

1. 複數倒頻譜至少以 $displaystyle frac 1n$ 的速度衰退
$=c$

其中 $displaystyle alpha =max(a_k,b_k,c_k,d_k)$

2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則
$displaystyle widehat xleft[nright]=0quad for all n<0$

因為 $displaystyle b_k,d_k=0$

3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則
$displaystyle widehat xleft[nright]=0quad for all n>0$

因為 $displaystyle a_k,c_k=0$

4. 如果x[n]是有限長度, 則 $displaystyle widehat xleft[nright]$ 是無限長度

梅爾頻率倒頻譜

梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:

梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。

梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。

梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。

梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。

梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟：

將信號做傅立葉變換

頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。

對每個梅爾頻率取對數。

作離散餘弦轉換。

求得梅爾頻率倒頻譜係數。

梅爾頻率倒頻譜應用

梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。

利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。

雜訊敏感性

梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。

梅爾頻率倒頻譜優點

相較於原始的倒頻譜

有絕對值平方

卷積

倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：

$displaystyle x_1*x_2rightarrow x'_1+x'_2$

微分倒頻譜(differential cepstrum)

定義

 $displaystyle widehat x_d(n)=Z^-1frac X'(Z)X(Z)$  或  $displaystyle widehat x_d[n]=int _-frac 12^frac 12frac X'(F)X(F)e^i2pi FdF$

$displaystyle (frac ddZwidehat X_d(Z)=frac ddZlogX(Z)=frac X'(Z)X(Z))$

If $displaystyle x(n)=x_1(n)*x_2(n)$
$displaystyle X(Z)=X_1(Z)X_2(Z)$
$displaystyle X'(Z)=X_1'(Z)X_2(Z)+X_1(Z)X_2'(Z)$
$displaystyle frac X'(Z)X(Z)=frac X_1'(Z)X_1(Z))+frac X_2'(Z)X_2(Z))$
$displaystyle therefore widehat x_d(n)=widehat x_1d(n)+widehat x_2d(n)$

優點:
(a)沒有模糊的相位
(b)可以處理延遲問題

特性

(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。

ex: $displaystyle y[n]=AX[n-r]$
$displaystyle Rightarrow widehat y_d(n)=begincaseswidehat x_d(n),nneq 1\-r+widehat x_d(1),n=1endcases$

(proof):
$displaystyle Y(z)=Az^-rX(z)$
$displaystyle Y(z)=Az^-rX'(z)-rAz^-r-1X(z)$
$displaystyle frac Y'(z)Y(z)=frac X'(z)X(z)-rz^-1$

(2)複數倒頻譜 $displaystyle widehat C[n]$ 與微分倒頻譜 $displaystyle widehat x_d[n]$ 和原訊號x[n]有關
$displaystyle widehat C(n)=frac -widehat x_d(n+1)n,nneq 0$ diff cepstrum
$displaystyle -(n-1)x(n-1)=sum _k=-infty ^infty widehat x_d(n)x(n-k)$ recursive formula
$Rightarrow$ 複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到

(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則 $displaystyle widehat x_d[n]=0$ ,當 $displaystyle nleq 0$

minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外

(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則 $displaystyle widehat x_d[n]=0$ ,當 $ngeq 2$

maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內

(5)如果x(n)為有限區間,則 $displaystyle widehat x_d[n]$ 為無限區間

複數倒頻譜的衰減率反比於n

微分倒頻譜的衰減率下降

$displaystyle therefore widehat x_d(n+1)=nwidehat c(n)varpropto nfrac 1n=1$

範例

$displaystyle x[0]=1,x[1]=0.5$ ,otherwise 0 , Find its cepstrum.

$displaystyle x[n]quad stackrel Ztransformlongrightarrow quad X(Z)quad stackrel loglongrightarrow quad widehat X(Z)quad stackrel Z^-1longrightarrow quad widehat x[n]$

step 1. Z transform: $displaystyle X(Z)=1+0.5Z^-1,pole=-0.5$

step 2. log: $displaystyle widehat X(Z)=sum _k=1^m_ilog(1-(-0.5Z^-1))$

step 3. reverse Z transform: $displaystyle widehat x[n]=sum _n=0^N-frac -0.5^nn,n>0$

$displaystyle widehat x[0]=1$ ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.

$displaystyle widehat x[n]quad stackrel Ztransformlongrightarrow quad widehat X(Z)quad stackrel explongrightarrow quad X(Z)quad stackrel Z^-1longrightarrow quad x[n]$

step 1. Z transform: $displaystyle widehat X[n]=Z^-1$

step 2. exp: $displaystyle e(frac 1z)=sum _n=0^infty frac frac 1z^nn!$

step 3. reverse Z transform: $displaystyle x[n]=begincasesfrac 1n!,ngeq 0\0,otherwise\endcases$

Suppose that an IIR filter is $displaystyle H(Z)=frac 2z^3-4z^2-z+22z^2-2z+1$

$displaystyle x[n]quad stackrel Ztransformlongrightarrow quad X(Z)quad stackrel loglongrightarrow quad widehat X(Z)quad stackrel Z^-1longrightarrow quad widehat x[n]$

step 1. Z transform: $displaystyle H(Z)=frac (-2)(z)(z-frac sqrt 22z^-1)(z+frac sqrt 22z^-1)(1-frac 12z)(1-frac 1+j2z^-1)(1-frac 1-j2z^-1)$

step 2. log: $displaystyle widehat H(Z)=log(-2)+3log(z)+log(1pm frac sqrt 22z^-1)+log(1-frac 12z)-log(1-frac 1pm j2z^-1)$

step 3. reverse Z transform: $displaystyle widehat h[n]=begincaseslog(-2),n=0\displaystyle -frac (frac sqrt 22)^n+(frac -sqrt 22)^nn+frac (frac 1+j2)^n+(frac 1-j2)^nn,n>0\displaystyle frac (frac 12)^-nn,n<0\endcases$

參考文獻

B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.

D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.

Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008

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