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在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。

“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合^[1]。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。

为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数^[2]，后一种可数集则称为无限可数集^[3]。

定义

如果存在从Sdisplaystyle S到自然數集合N=0,1,2,3,…displaystyle mathbb N =left0,1,2,3,ldots right存在单射函数，则Sdisplaystyle S称为可数集。^[4]

如果Sdisplaystyle S还是满射，则同样是双射，则称Sdisplaystyle S是无限可数集。

换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集Ndisplaystyle mathbb N 有一一对应关系。

如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。

介绍

由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的，因為我們可以將所有的ndisplaystyle n都對應到2ndisplaystyle 2n，如此就完成了一一對應。類似地，不難證明所有整數構成的集合Zdisplaystyle Z、所有有理數構成的集合Qdisplaystyle Q、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。

並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合Rdisplaystyle R是不可列的，即Rdisplaystyle R與Ndisplaystyle N之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數，因為剛才已經說過代數數是可列的；於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明。

正规定义和性质

由定义，如果存在从Sdisplaystyle S到自然數集合N=0,1,2,3,…displaystyle mathbb N =left0,1,2,3,ldots right存在单射函数f:S→Ndisplaystyle f:Srightarrow mathbb N ，则Sdisplaystyle S称为可数集。

这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。

为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：

a↔1,b↔2,c↔3displaystyle aleftrightarrow 1,bleftrightarrow 2,cleftrightarrow 3

由于a,b,cdisplaystyle lefta,b,cright的每个元素都可以和1,2,3displaystyle left1,2,3right中准确的一个配对，并且反过来也同样，这就定义了一个双射。

我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？

考虑集合A=1,2,3,…displaystyle A=left1,2,3,ldots right（正整数集），和B=2,4,6,…displaystyle B=left2,4,6,ldots right（正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用n↔2ndisplaystyle nleftrightarrow 2n，那么

1↔2,2↔4,3↔6,4↔8,…displaystyle 1leftrightarrow 2,2leftrightarrow 4,3leftrightarrow 6,4leftrightarrow 8,ldots

正如前面的例子，Adisplaystyle A的每个元素都已和Bdisplaystyle B中准确的一个配对，并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。

同样，自然数的有序对的集合是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：

康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数

配对结果就像这样：

0↔(0,0),1↔(1,0),2↔(0,1),3↔(2,0),4↔(1,1),5↔(0,2),6↔(3,0),…displaystyle 0leftrightarrow (0,0),1leftrightarrow (1,0),2leftrightarrow (0,1),3leftrightarrow (2,0),4leftrightarrow (1,1),5leftrightarrow (0,2),6leftrightarrow (3,0),ldots

显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。

参见

• Aleph数


• 计数


• 希尔伯特旅馆悖论


• 不可数集


• 有限集合

注解

1. 
   ^ 例子参见（Rudin 1976，Chapter 2）
   


2. 
   ^ 参见（Lang 1993，§2 of Chapter I）.
   


3. 
   ^ 参见（Apostol 1969，Chapter 13.19）.
   


4. 
   ^ 因为显然N和N* = 1, 2, 3, ...之间显然存在双射，无所谓是否把0算作自然数。在任何情况，这篇文章都遵循ISO 31-11和数学逻辑中的标准传统，将0作为自然数。
   

参考资料

• 
  Lang, Serge, Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94001-4 
  


• 
  Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X 
  

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