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一个包含很多多边形的集合

集合（英语：Set，或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体，（在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。）集合裡的事物（“东西”），叫作元素。若然xdisplaystyle x是集合Adisplaystyle A的元素，記作x∈Adisplaystyle xin A。

集合是现代数学中一个重要的基本概念，而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍，另外可參见朴素集合论；關於对集合作公理化的理論，可见公理化集合论。

导言

定义

简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。
一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

• 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

符号

元素通常用a, b, c, d, xdisplaystyle a, b, c, d, x等小写字母來表示；而集合通常用A, B, C, D, Xdisplaystyle mathbf A, B, C, D, X 等大寫字母來表示。

當元素adisplaystyle a属于集合Adisplaystyle mathbf A 時，记作a∈Adisplaystyle ain mathbf A 。

当元素adisplaystyle a不属于集合Adisplaystyle mathbf A 时，记作a∉Adisplaystyle anot in mathbf A 。

如果A, Bdisplaystyle mathbf A, B 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作A=Bdisplaystyle mathbf A=B 。

集合的特性

无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。

• 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。

• 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

集合的表示

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

A=displaystyle A=大于零的前三个自然数

B=displaystyle B=光的三原色和白色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

C=1,2,3displaystyle C=left1,2,3right

D=displaystyle D=红色,displaystyle ,蓝色,displaystyle ,绿色,displaystyle ,白色displaystyle

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A=Cdisplaystyle A=C而B=Ddisplaystyle B=D，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合2,4displaystyle left2,4right，4,2displaystyle left4,2right和2,2,4,2displaystyle left2,2,4,2right是相同的，同样因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合间的关系

子集与包含关系

B的子集A

定义

集合Adisplaystyle A、Bdisplaystyle B，若∀a∈Adisplaystyle forall ain A，有a∈B∴A⊆Bdisplaystyle ain Btherefore Asubseteq B。则称Adisplaystyle A是Bdisplaystyle B的子集，亦称Adisplaystyle A包含于Bdisplaystyle B，或Bdisplaystyle B包含Adisplaystyle A，记作A⊆Bdisplaystyle Asubseteq B。

若A⊆Bdisplaystyle Asubseteq B，且A≠Bdisplaystyle Aneq B，则称Adisplaystyle A是Bdisplaystyle B的真子集，亦称Adisplaystyle A真包含于Bdisplaystyle B，或Bdisplaystyle B真包含Adisplaystyle A，记作A⊂Bdisplaystyle Asubset B。

基本性质

• 包含关系“⊆displaystyle subseteq ”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
  
  • 
    自反性：∀displaystyle forall 集合Sdisplaystyle S，S⊆Sdisplaystyle Ssubseteq S；（任何集合都是其本身的子集）
  
  
  • 
    反对称性：A⊆Bdisplaystyle Asubseteq B且B⊆A⇔A=Bdisplaystyle Bsubseteq ALeftrightarrow A=B；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
  
  
  • 
    传递性：A⊆Bdisplaystyle Asubseteq B且B⊆C⇒A⊆Cdisplaystyle Bsubseteq CRightarrow Asubseteq C；
  
  


• 真包含关系“⊂displaystyle subset ”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
  
  • 
    反自反性：∀displaystyle forall 集合Sdisplaystyle S，S⊂Sdisplaystyle Ssubset S都不成立；
  
  
  • 
    非对称性：A⊂B⇒B⊂Adisplaystyle Asubset BRightarrow Bsubset A不成立；反之亦然；
  
  
  • 
    传递性：A⊂Bdisplaystyle Asubset B且B⊂C⇒A⊂Cdisplaystyle Bsubset CRightarrow Asubset C；
  
  


• 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而∅displaystyle varnothing 是这个偏序关系的最小元素，即：∀displaystyle forall 集合Sdisplaystyle S，∅⊆Sdisplaystyle varnothing subseteq S；且若S≠∅displaystyle Sneq varnothing ，则∅⊂Sdisplaystyle varnothing subset S，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）

举例

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。


• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。


• 1,3⊂1,2,3,4displaystyle left1,3rightsubset left1,2,3,4right


• 1,2,3,4⊆1,2,3,4displaystyle left1,2,3,4rightsubseteq left1,2,3,4right

集合的运算

併

两个集合可以相"加"。Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B的聯集是将Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B的元素放到一起构成的新集合。

定义

给定集合Adisplaystyle A，Bdisplaystyle B，定义运算∪displaystyle cup 如下：A∪B=e">。A∪Bdisplaystyle Acup B称为Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B的聯集。

A 和 B 的聯集

示例

• 
  1,2∪displaystyle 1,2cup 红色,displaystyle ,白色=1,2,displaystyle =1,2,红色,displaystyle ,白色displaystyle
  


• 
  1,2,displaystyle 1,2,绿色∪displaystyle cup 红色,displaystyle ,白色,displaystyle ,绿色=1,2,displaystyle =1,2,红色,displaystyle ,白色,displaystyle ,绿色displaystyle
  


• 1,2∪1,2=1,2displaystyle left1,2rightcup left1,2right=left1,2right

基本性质

作为集合间的二元运算，∪displaystyle cup 运算具有以下性质。

• 
  交换律：A∪B=B∪Adisplaystyle Acup B=Bcup A；


• 
  结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)displaystyle left(Acup Bright)cup C=Acup left(Bcup Cright)；


• 
  幂等律：A∪A=Adisplaystyle Acup A=A；


• 
  幺元：∀displaystyle forall 集合Adisplaystyle A，A∪∅=Adisplaystyle Acup varnothing =A；（∅displaystyle varnothing 是∪displaystyle cup 运算的幺元）。

交

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B的交集，写作A∩Bdisplaystyle Acap B，是既属于Adisplaystyle A的、又属于Bdisplaystyle B的所有元素组成的集合。

若A∩B=∅displaystyle Acap B=varnothing ，则Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B称作不相交。

A 和 B 的交集

定义

给定集合Adisplaystyle A、Bdisplaystyle B，定义运算∩displaystyle cap 如下：A∩B=∈Adisplaystyle Acap B=e且e∈Bdisplaystyle ein B。A∩Bdisplaystyle Acap B称为Adisplaystyle A和Bdisplaystyle B的交集。

基本性质

作为集合间的二元运算，∩displaystyle cap 运算具有以下性质。

• 
  交换律：A∩B=B∩Adisplaystyle Acap B=Bcap A；


• 
  结合律：(A∩B)∩C=A∩B(B∩C)displaystyle (Acap B)cap C=Acap B(Bcap C)；


• 
  幂等律：A∩A=Adisplaystyle Acap A=A；


• 
  空集合：∀displaystyle forall 集合Adisplaystyle A，A∩∅=Adisplaystyle Acap varnothing =A；（∅displaystyle varnothing 是∩displaystyle cap 运算的空集合）。

其它性质还有：

• A⊆B⇒A∩B=Adisplaystyle Asubseteq BRightarrow Acap B=A

示例

• 
  1,2∩displaystyle 1,2cap 红色,displaystyle ,白色=∅displaystyle =varnothing
  


• 
  1,2,displaystyle 1,2,绿色∩displaystyle cap 红色,displaystyle ,白色,displaystyle ,绿色=displaystyle =绿色displaystyle
  


• 1,2∩1,2=1,2displaystyle 1,2cap 1,2=1,2

差

两个集合也可以相"减"。Adisplaystyle A在Bdisplaystyle B中的相对补集，国际上通常写作 B∖Adisplaystyle Bsetminus A，中文教材中有时也会写作B−Adisplaystyle B-A。表示属于Bdisplaystyle B的、但不属于Adisplaystyle A的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集Udisplaystyle U的子集。这样， U−Adisplaystyle U-A称作Adisplaystyle A的绝对补集，或简称补集（餘集），写作A′displaystyle A'或CUAdisplaystyle C_UA。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

定义

给定集合Adisplaystyle A，Bdisplaystyle B，定义运算-如下：A−B=e∈Adisplaystyle A-B=e且e∉Bdisplaystyle enot in B。A−Bdisplaystyle A-B称为Bdisplaystyle B对于Adisplaystyle A的差集，相对补集或相对餘集。

在上下文确定了全集Udisplaystyle U时，对于Udisplaystyle U的某个子集Adisplaystyle A，一般称U−Adisplaystyle U-A为Adisplaystyle A（对于Udisplaystyle U）的补集或余集，通常记为A′displaystyle A'或A¯displaystyle bar A，也有记为Acdisplaystyle A^textc, A′displaystyle A', ∁UAdisplaystyle complement _UA，以及∁Adisplaystyle complement A的。

基本性质

作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：

• 
  A−A=∅displaystyle A-A=varnothing ；


• 
  右幺元：∀displaystyle forall 集合Adisplaystyle A，A−∅=Adisplaystyle A-varnothing =A；（∅displaystyle varnothing 是−displaystyle -运算的右幺元）。


• 
  左零元（英语：Zero element）：∀displaystyle forall 集合Adisplaystyle A，∅−A=∅displaystyle varnothing -A=varnothing ；（∅displaystyle varnothing 是−displaystyle -运算的左零元）。

示例

• 
  1,2−displaystyle 1,2-红色,displaystyle ,白色=1,2displaystyle =1,2
  


• 
  1,2,displaystyle 1,2,绿色−displaystyle -红色,displaystyle ,白色,displaystyle ,绿色=1,2displaystyle =1,2
  


• 1,2−1,2=∅displaystyle 1,2-1,2=varnothing


• 若Udisplaystyle U是整数集，则奇数的补集是偶数

對稱差

定义

给定集合Adisplaystyle A，Bdisplaystyle B，定义对称差运算△displaystyle vartriangle 如下：A△B=(A−B)∪(B−A)displaystyle Avartriangle B=(A-B)cup (B-A)。

基本性质

作为集合间的二元运算，△displaystyle vartriangle 运算具有如下基本性质：

• 
  交换律：A△B=B△Adisplaystyle Avartriangle B=Bvartriangle A；


• 
  结合律：(A△B)△C=A△(B△C)displaystyle (Avartriangle B)vartriangle C=Avartriangle (Bvartriangle C)；


• 
  幺元：∀displaystyle forall 集合Adisplaystyle A，A△∅=Adisplaystyle Avartriangle varnothing =A；（∅displaystyle varnothing 是△displaystyle vartriangle 运算的幺元）。


• 
  逆元：A△A=∅displaystyle Avartriangle A=varnothing ；

运算性质

集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质：

• 
  分配律:

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)displaystyle Acup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)displaystyle Acap (Bcup C)=(Acap B)cup (Acap C)

• 
  对偶律:

A∪B¯=A¯∩B¯displaystyle overline Acup B=overline Acap overline B

A∩B¯=A¯∪B¯displaystyle overline Acap B=overline Acup overline B

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: Card⁡(A), #A, |A|, A¯, A¯¯, bar A, bar bar A。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 displaystyle 或符号∅displaystyle varnothing 表示。比如：在2004年，集合Adisplaystyle A是所有住在月球上的人，它没有元素，则A=∅displaystyle A=varnothing 。在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，這樣的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

公理化集合论

若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

類

在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“∃B(A∈B)displaystyle exists B(Ain B)”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set⁡(A)displaystyle operatorname Set (A)。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参考文献

参见

• 公理化数学


• 类的理论


• 罗素公理体系


• 集合代数

查 论 编 集合论 公理 选择 可数 相关（英语：Axiom of dependent choice） 外延 无穷 配对 幂集 正则性 并集 马丁公理（英语：Martin's axiom） 公理模式 替代 分类 运算 笛卡儿积 德摩根定律 交集 冪集 补集 对称差 并集 概念 方法 势 基数（大基数） 类 可构造全集（英语：Constructible universe） 连续统假设 對角論證法 元素 有序对 多元组 集合族 力迫 一一对应 序数 超限归纳法 文氏图 集合类型 可數集 空集 有限集合（继承有限集合） 模糊集 无限集合 递归集合 子集 传递集合 不可數集 泛集（英语：Universal set） 理论 可替代的集合论 集合论 朴素集合论 康托尔定理 策梅洛 广义（英语：General set theory） 数学原理 新基础 策梅洛-弗兰克 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory） 克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory） 塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory） 悖论（英语：Paradoxes of set theory） 问题 罗素悖论 萨斯林问题（英语：Suslin's problem） ZFC系統無法確定的命題列表 集合論者 亚伯拉罕·弗兰克尔（英语：Abraham Fraenkel） 伯特兰·罗素 恩斯特·策梅洛 格奥尔格·康托尔 约翰·冯·诺伊曼 库尔特·哥德尔 盧菲特·澤德 保尔·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays） 保罗·寇恩 理查德·戴德金 托马斯·耶赫（英语：Thomas Jech） 威拉德·蒯因