无限集合
无限集合是由无限个元素组成的集合，也称无穷集合。集合論中，集合主要分為有限集合與無限集合，有限集合很多的性質也是顯而易見的，反之，因為無限集合的非有限性，即使無限集合的一些基本性質也變得並不顯而易見，個別的數學家甚至質疑諸如选择公理等基本公設使用在無限集合身上是否仍然正確。罗素悖论提出以後，一些激進的數學哲學家提倡禁止在數學中使用無限集合以挽救第三次數學危機。
無限集合在數學中無處不在，一般常見的例子有整數集、有理集等。一般來說，無限集合還分為可數集和不可數集。
特性
在无限集合中，集合大小的比较不是显然的。
- 在基数意义下，一个集合的真子集可以等于自身，例如：
偶數和整數哪個多？- 整數：…,−1,0,1,2,3,4,5,…,ndisplaystyle ldots ,-1,0,1,2,3,4,5,ldots ,n
- 偶數：…,−2,0,2,4,6,8,10,…,2ndisplaystyle ldots ,-2,0,2,4,6,8,10,ldots ,2n
- 整數：…,−1,0,1,2,3,4,5,…,ndisplaystyle ldots ,-1,0,1,2,3,4,5,ldots ,n
- 通過建立一一對應的關係，在證明了偶數和整數在基数意义下一樣多，雖然這有悖於一般認識。
- 在密度意义下，同样的例子里，偶数集的大小是自然集的一半：
- 对于N→∞displaystyle Nto infty
，小于Ndisplaystyle N
的偶数数目 与 小于Ndisplaystyle N
。
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