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建議将連續函數 (拓撲學)併入本條目或章節。（討論）

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)displaystyle h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)displaystyle T(P)表示地球上某一点Pdisplaystyle P的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一句格言：“自然界中，一切都是连续的。”相比之下，如果M(t)displaystyle M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此函数M(t)displaystyle M(t)是不连续的。

实值连续函数

最基本也是最常见的连续函数是定义域为实数集的某个子集、取值也是实数的连续函数。例如前面提到的花的高度，就是属于这一类型。这类函数的连续性可以用直角坐标系中的图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡。

严格来说，设fdisplaystyle f是一个从实数集的子集I⊂Rdisplaystyle mathbf I subset mathbb R 射到J⊂Rdisplaystyle mathbf J subset mathbb R 的函数：f:I⟶Jdisplaystyle f:mathbf I longrightarrow mathbf J 。fdisplaystyle f在Idisplaystyle mathbf I 中的某个点cdisplaystyle c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

1. 
   fdisplaystyle f在点cdisplaystyle c上有定义。


2. 
   cdisplaystyle c是Idisplaystyle mathbf I 中的一个聚点，并且无论自变量xdisplaystyle x在Idisplaystyle mathbf I 中以什么方式接近cdisplaystyle c，f(x)displaystyle f(x)的极限都存在且等于f(c)displaystyle f(c)。

我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连续。更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子集上是连续的。

ε−δdisplaystyle varepsilon -delta 定义

不用极限的概念，也可以用下面所谓的ε−δdisplaystyle varepsilon -delta 方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数f:I⟶Jdisplaystyle f:mathbf I longrightarrow mathbf J 。假设cdisplaystyle c是fdisplaystyle f的定义域中的元素。函数fdisplaystyle f被称为是在cdisplaystyle c点连续当且仅当以下条件成立：

对于任意的正实数ε>0displaystyle varepsilon >0，存在一个正实数δ>0displaystyle delta >0使得对于任意定义域中的x∈Idisplaystyle xin mathbf I ，只要xdisplaystyle x满足c−δ<x<c+δdisplaystyle c-delta <x<c+delta ，就有f(c)−ε<f(x)<f(c)+εdisplaystyle f(c)-varepsilon <f(x)<f(c)+varepsilon 成立。

连续性的“ε−δdisplaystyle varepsilon -delta 定义”由柯西首先给出。

更直观地，函数fdisplaystyle f是连续的当且仅当任意取一個Jdisplaystyle mathbf J 中的点f(c)displaystyle f(c)的鄰域Ωdisplaystyle Omega ，都可以在其定义域Idisplaystyle mathbf I 中选取点xdisplaystyle x的足够小的鄰域，使得xdisplaystyle x的鄰域在函數fdisplaystyle f上的映射下都會落在f(c)displaystyle f(c)的鄰域Ωdisplaystyle Omega 之內。

以上是针对单变量函数（定义域在Rdisplaystyle mathbb R 上的函数）的定义，这个定义在推广到多变量函数时也是成立的。度量空间以及拓扑空间之间的连续函数定义见下一节。

例子

• 所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。


• 
  绝对值函数也是连续的。


• 定义在非零实数上的倒数函数f = 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。


• 非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x > 0，f(x) = 0如果x ≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。


• 另一个不连续函数的例子为符号函数。

连续函数的性质

如果两个函数fdisplaystyle f和gdisplaystyle g是连续的，λdisplaystyle lambda 为一个实数，那么f+gdisplaystyle displaystyle f+g、λfdisplaystyle displaystyle lambda f和fgdisplaystyle displaystyle fg都是连续的。所有连续函数的集合构成一个环，也构成一个向量空间（实际上构成一个代数）。如果对于定义域内的所有xdisplaystyle x，都有g(x)≠0displaystyle g(x)neq 0，那么fgdisplaystyle frac fg也是连续的。

两个连续函数的复合函数f∘gdisplaystyle fcirc g也是连续函数。

如果实函数fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]内连续，且kdisplaystyle k是某个f(a)displaystyle f(a)和f(b)displaystyle f(b)之间的数，那么存在某个[a,b]displaystyle [a,b]内的cdisplaystyle c，使得f(c)=kdisplaystyle f(c)=k。这个定理称为介值定理。例如，如果一个小孩在五岁到十岁之间身高从1米增长到了1.5米，那么期间一定有某一个时刻的身高正好是1.3米。

如果fdisplaystyle f在[a,b]displaystyle [a,b]内连续，且f(a)displaystyle f(a)和f(b)displaystyle f(b)一正一负，则中间一定有某一个点cdisplaystyle c，使得f(c)=0displaystyle f(c)=0。这是介值定理的一个推论。

如果fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]内连续，则它一定取得最大值，也就是说，总存在c∈[a,b]displaystyle cin [a,b]，使得对于所有的x∈[a,b]displaystyle xin [a,b]，有f(c)⩾f(x)displaystyle f(c)geqslant f(x)。同样地，函数也一定有最小值。这个定理称为极值定理。（注意如果函数是定义在开区间(a,b)displaystyle (a,b)内，则它不一定有最大值和最小值，例如定义在开区间(0,1)内的函数f(x)=1xdisplaystyle f(x)=frac 1x。）

如果一个函数在定义域中的某个点f(c)displaystyle f(c)可微，则它一定在点cdisplaystyle c连续。反过来不成立；连续的函数不一定可微。例如，绝对值函数在点c=0displaystyle c=0连续，但不可微。

度量空间之间的连续函数

现在考虑从度量空间(X,dX)displaystyle (X,d_X)到另一个度量空间(Y,dY)displaystyle (Y,d_Y)的函数fdisplaystyle f。

fdisplaystyle f在c∈Xdisplaystyle cin X是连续的，則对任何实数ε>0displaystyle varepsilon >0，存在一个实数δ>0displaystyle delta >0使得∀x∈Xdisplaystyle forall xin X，只要满足dX(x,c)<δdisplaystyle d_X(x,c)<delta ，就满足dY(f(x),f(c))<εdisplaystyle d_Y(f(x),f(c))<varepsilon 。

这个定义可以用序列与极限的语言重述：

如果函数fdisplaystyle f在点cdisplaystyle c连续，則对Xdisplaystyle X中任何序列xndisplaystyle x_n，只要limn→∞xn=cdisplaystyle lim limits _nrightarrow infty x_n=c，就有limn→∞f(xn)=f(c)displaystyle lim limits _nrightarrow infty f(x_n)=f(c)。连续函数将极限变成极限。

后一个条件可以减弱为：

fdisplaystyle f在cdisplaystyle c点连续，当且仅当对Xdisplaystyle X中任何序列xndisplaystyle x_n，只要limn→∞xn=cdisplaystyle lim limits _nrightarrow infty x_n=c，就滿足序列f(xn)displaystyle f(x_n)是一个柯西序列。连续函数将收敛序列变成柯西序列。

拓扑空间之间的连续函数

如上连续函数的定义可以自然地推广到一个拓扑空间到另一拓扑空间的函数：函数f:X→Ydisplaystyle f:Xrightarrow Y，这里Xdisplaystyle X与Ydisplaystyle Y是拓扑空间是连续的当且仅当任何开集V⊆Ydisplaystyle Vsubseteq Y的逆像f−1(V)displaystyle f^-1(V)是Xdisplaystyle X中开集。

历史

函数的连续性质在很长时间内被认为是当然的。

第一个比较严格的定义归功于伯纳德·波尔查诺^[1]。他在1817年用德文写下的定义是这样的：函数fdisplaystyle f在xdisplaystyle x点是连续的，当且仅当：

“……若hdisplaystyle h足够小时，f(x+h)−f(x)displaystyle f(x+h)-f(x)比任何事先给定的量都小”^[2]。

然后波尔查诺在证明中值定理时用ϵdisplaystyle epsilon 来表示所谓“事先给定的量”。

六年以后，柯西在1823年也给了一个定义，但此定义还不如波尔查诺前面给出的定义清楚：

“……f(x+h)−f(x)displaystyle f(x+h)-f(x)的大小随着hdisplaystyle h的减小而不确定地减小。……变量（指xdisplaystyle x）的一个无穷小的增长会导致函数本身（指f(x)displaystyle f(x)）的一个无穷小的增长”。

这里的无穷小指的是：一个量的“绝对值不断而无止境地减小以至于小于任何一个事先给定的量”。

现代的ϵ−δdisplaystyle epsilon -delta 定义只要把波尔查诺在其证明里的写法中“事先给定的量”用ϵdisplaystyle epsilon 来代替就可以了。这个现代定义第一次公开发表在刊物上是1874年由魏尔斯特拉斯的一个学生海涅根据魏尔斯特拉斯的讲义写的。

相关条目

• 单一连续


• 一致连续


• 有界线性算子


• 绝对连续


• 半连续

注释

参考文献

• 
  Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)