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数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域Cdisplaystyle mathbb C 的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义

设Pdisplaystyle mathcal P是复数域Cdisplaystyle mathbb C 的子集。若Pdisplaystyle mathcal P中包含0与1，并且Pdisplaystyle mathcal P中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在Pdisplaystyle mathcal P中，就称Pdisplaystyle mathcal P为一个数域^[1]:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域^[2]:5。

任何数域都包括有理数域Qdisplaystyle mathbb Q ^[1]:103[2]:5，但并不一定是Qdisplaystyle mathbb Q 的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域Rdisplaystyle mathbb R 和复数域Cdisplaystyle mathbb C 都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域Rdisplaystyle mathbb R 和复数域Cdisplaystyle mathbb C 以外^[2]:5，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

a+b2,a,b∈Qdisplaystyle a+bsqrt 2,;;a,bin mathbb Q

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成a+b2displaystyle a+bsqrt 2的形式，故仍然在集合之中^[1]:102。这个集合记作Q(2)displaystyle mathbb Q (sqrt 2)，是有理数域Qdisplaystyle mathbb Q 的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为Cdisplaystyle mathcal C，是一个数域^[3]:160-161。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。Cdisplaystyle mathcal C是Qdisplaystyle mathbb Q 的扩域，次数为无限大，是实数域Rdisplaystyle mathbb R 的子域^[3]:161。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作Adisplaystyle mathcal A，是一个数域。Adisplaystyle mathcal A也常被称为代数数域，但与定义为“Qdisplaystyle mathbb Q 的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个Qdisplaystyle mathbb Q 的有限扩张生成的域都可看作是^{[N 1]}Qdisplaystyle mathbb Q 中加入某个代数数扩成的，所以都是Adisplaystyle mathcal A的子域。可构造数构成的数域Cdisplaystyle mathcal C也是Adisplaystyle mathcal A的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以Adisplaystyle mathcal A不是Rdisplaystyle mathbb R 的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以Rdisplaystyle mathbb R 也不是Adisplaystyle mathcal A的子域^{[N 2]}。

注释

参考来源